Hydra_function Python 一次実装) + PDF (arXiv:2509.12337 Appendix C) で 独立 verify 完了。 §2.1 「+1 抜き 縮小 variant」 記述 は 数学的に 誤り (正しくは: 奇 n で +1 → −1 の 差、 Hydra は a >= 2 で 狭義単調増加、 Antihydra は 単一初期値 8 の 単一軌道問題)、 事前登録 通り §2.1 全体 撤回 (元記述 は <del> で preserve、 §2.1-corrigendum に 正記述 追加)、 §2.3 表現弱化 (「壁 が 同型」 → 「密度 の 議論 は 単一 の 初期値 の 軌道 について 何も 述べない、 という 点 で 共通」)、 §2.2 停止確率 は wiki 見積 (10^-28,723,042,565) と arXiv:2509.12337 App. C 見積 (「less than 10^-200,000,000」) の 両方 出典付 併記 (指数 143× 差 = 「モデル 依存 = 較正済 と 読まない 根拠 の 直接 evidence」)。 事前登録 反証条件 が 撤回 path を 事前確定 = discipline が operational に 働いた 例。
H(n) = ⌊3n/2⌋ は Syracuse map T(n) = (3n+1)/2 (奇 n) の 「+1 抜き」 縮小 variant であって、 別 map。+1 → −1 の 差 + Hydra は a ≥ 2 で 狭義単調増加 (縮小 では ない)、 §2.1 全体 参照。 Antihydra は 単一初期値 8 の 単一軌道 の 偶奇比 問題 で Collatz と 問い の 形 が 別。] 本 note の 位置付けは 「型として 同 class の 停止性 難問 における 較正 gap の 実演 + 密度 argument が 単一軌道 に 無関与 の 実演」 = Collatz arc 側 の 方法論的 evidence であって、 数学的 partial result ではない。
Antihydra は 6 状態 Turing machine で 現状 BB(6) 決定を 妨げている cryptid の 一つ。 bbchallenge wiki の記述より (2026-09-18 直接 fetch):
1RB1RA_0LC1LE_1LD1LC_1LA0LB_1LF1RE_---0RAH(n) = ⌊3n/2⌋ の 反復 に なる。 Antihydra は Hydra と 同じ写像 で 開始値 n=8 (Hydra は n=3) + 停止条件 O > 2E (Hydra は E > 2O、 E/O は 反復列 の 偶/奇 個数)a > 2^37 だが 証明戦略 なし+2 / −1 等確率 walk 仮定): (5−√12)^237 ≈ 2.884 × 10^−28,723,042,565 (指数 の magnitude が 約 287 億)[以下 STEP 2117 base draft (2026-09-18)、 STEP 2124 で 全体 撤回、 audit trail 保存 用 に <del> preserve]
Collatz の Syracuse acceleration map (奇 n 側 の 単 step):
T(n) = (3n + 1) / 2 (n odd)
= n / 2 (n even)
Hydra function:
H(n) = ⌊3n / 2⌋
3n が 奇 の 時 H(n) = (3n−1)/2、 偶 の 時 H(n) = 3n/2。 Collatz の 奇 n ケース (3n+1)/2 と 比較すると、 +1 の 有無 と −1/0 の 分岐 が 異なる。 型としては 「乗 3 → 割 2 → 端数処理」 の 3 要素 が 同じ で、 成長率 は 両方とも 3/2 平均 (奇 の 頻度 が 半 の 場合)。
この 平均成長率 が 1 より 大きい (log₂(3/2) ≈ 0.585 > 0) にも 関わらず 「停止する 確率が ある」 (Collatz は 1 に 到達、 Antihydra は 終了条件 に 到達) の 定式 は、 Terras 1976 / Everett 1977 以来 の 密度 argument の 骨格 と 同じ。 「+1」 の 有無 は 停止性 の 数論的困難 の 主要 driver ではなく、 「乗 3 → 割 2 → 分岐」 の 型が driver。
基点: chat-Claude relay via 藤本さん (2026-09-19) 指摘 → 私 (rei-aios-6c) が curl 生 HTML (bbchallenge wiki Hydra_function Python 一次実装) + PDF (arXiv:2509.12337 App. C) で 独立 verify → 事前登録 反証条件 (b) 発火 CONFIRMED、 §2.1 全体 撤回。
# This performs one step of the Hydra function H(a) = a + floor(a/2). # Note that integer division by 2 is equivalent to one bit shift to the right (a >> 1) a += a//2出典: wiki.bbchallenge.org/wiki/Hydra_function Python simulator (curl 生 HTML verify、 2026-09-19)。
したがって H(n) = n + ⌊n/2⌋ = ⌊3n/2⌋、 分岐 は:
n: H(n) = 3n/2n: H(n) = (3n−1)/2Collatz Syracuse acceleration:
n: T(n) = (3n+1)/2 (+1)n: T(n) = n/2 (2 で 割る)Hydra との 差 (3 点 とも 「単純な variant」 で は ない):
+1 vs Hydra −1 = 「+1 抜き」 では なく 「+1 → −1 の 置換」。 単に +1 を 抜くと 3n/2 と なり 奇 n で 整数 に ならない。n/2 (半分、 縮む) vs Hydra は 3n/2 (3/2 倍、 伸びる) = 正反対 の 挙動。a += a//2 は a ≥ 2 で 狭義単調増加 (H(a) > a for a ≥ 2)。 H(1) = 1 は 不動点。 Hydra 軌道 は 開始値 が 2 以上 なら 常に 増加、 「縮小 variant」 は 数学的に 完全に 逆。 実際 Odlyzko-Wilf 定理 (bbchallenge wiki 引用) より D(n) = ⌊K · (3/2)^n⌋ = 指数増加。n が 反復 で 1 に 到達 する か」 = 全入力 quantifiera=8 から 始まる Hydra 軌道 で、 奇 の 出現 回数 が 偶 の 出現 回数 の 2 倍 を 超える 瞬間 が 来る か」 = 単一軌道 + 偶奇比 quantifierこの 差 は 密度 argument 適用可能性 の 決定的 差 に なる (§2.3 参照)。 単純 な variant 関係 ではない。
bbchallenge wiki (Antihydra page) は Antihydra の 停止性 を Collatz より Mahler Z-number 問題 の 側 に 関連付けている (verbatim):
「However, a similar question on the parity of⌊ξ · (3/2)^n⌋has come up with Mahler's Z-number problem. That problem is formulated as a condition on the fractional parts ofξ · (3/2)^nbut this is just another form. The Z-number problem is a long-standing open question and it could be answered if it were proven that{ξ · (3/2)^n}, with{x}the fractional part ofx, is uniformly distributed (or equidistributed) over(0, 1).」
型 比較 の 相手 として: Collatz より Mahler Z-number 問題 の 方が Antihydra に 近い (単一軌道 の 偶奇比 問題 という 型 が 一致)。 但し 本 note は 主張 しない — 記録 のみ (wiki 一次 の 指摘 を 型 比較 の 候補 として 明示、 私 side の 独立 数学的 verify は 未実施)。
撤回 前 主張 と 撤回 後 主張 の 差 (audit trail): 撤回 前 は 「Hydra は Syracuse の 単純 variant で 型 が 同じ = 密度 argument も 同 骨格」 と 誤主張。 撤回 後 は 「Hydra は Syracuse と 別 map (偶 側 反対 の 挙動、 奇 側 符号反転、 monotone growth)、 Antihydra は 単一軌道問題 で Collatz と 問い の 形 も 別 = 密度 argument が 単一軌道 に 無関与 という 点 で 共通、 較正 gap の 実演 の 型 は 保持」 に narrow。
Cryptid の 定義 (bbchallenge wiki 直接 verify): 「blank tape 始動 の 挙動 が 相対的に simple な 数学規則 で 完全記述 できるが、 その 規則 が 未解決 (かつ 難問 と 推定される) 数学問題 の class に 属する Turing machine」。 Probviously の 定義: 「study すると 明らかに 真 と 思われるが、 証明 は 見つからない」。
これは verdict-device-type arc の 判定器 4 field D = (V, e, t, c) に 直訳 すると:
| field | Antihydra の 現状 verdict 装置 |
|---|---|
V (値域) | {halts, non-halts, probviously halts, probviously non-halts, unknown} |
e (誤り率) | 未測定 (probviously verdict の 実 誤り率 は 測られていない、 直接測定不能 - halt の ground truth が 存在するのは 停止した 場合 のみで、 non-halt は 有限時間で 確認不能) |
t (全域性) | partial (cryptid は 明示的に 「証明戦略 なし」 で 判定拒否、 verdict は probviously に 留まる) |
c (較正) | なし。 halt probability の 見積 は 資料 間 で 143× 指数差 = wiki (+2/−1 等確率 walk): (5−√12)^237 ≈ 2.884 × 10^−28,723,042,565 vs arXiv:2509.12337 App. C (「biased random walk model」): less than 10^−200,000,000。 両方 とも モデル仮定 (ランダムウォーク近似) 由来 であって、 実 誤り率 に 対する 較正 では ない。 指数 が 100 倍以上 モデル に よって 変わる の は 「較正済 と 読まない」 判定 の 直接 evidence (STEP 2124 corrigendum) |
Collatz arc も 型として 同じ位置 に ある。 Terras (1976) 以来 の 密度 argument (「ほぼ 全て の n は 有限時間 で 縮小 する」 を 密度 1 で 主張) は Tao (2019) で 「logn より 遥かに 小さい 値 に 落ちる」 の 部分密度 result まで 押し上げられている が、 これ は Collatz 予想 の 較正 c ではない。 Tao 自身 が 「full conjecture への 密度 argument 経由 の 直接 attack は 見えていない」 と 明示。
Antihydra の halt probability 見積 は、 「較正に 見える 数字 が 較正 でない」 の 純粋 な 実演。 wiki の 10^−28,723,042,565 (指数 magnitude 約 287 億) と arXiv:2509.12337 App. C の 「less than 10^−200,000,000」 (指数 magnitude 約 2 億) は 同じ Antihydra machine に対する 同じ 停止確率 の 2 見積 だが 指数 143× 差。 これ は 数字 の 精度 が モデル 内 の 計算精度 の 反映 であって、 モデル が ground truth と 一致 する 保証 が どこにも ない こと の 直接 evidence。 単位 明示: 「〜億 桁」 = probability 指数 magnitude、 別 に 「〜億 rule steps」 = simulation 実施量 (Antihydra は 2^38 ≈ 275 億 = 2,749 億 rule steps まで simulate 済み)、 混同 禁物。 [STEP 2124 corrigendum]
Tao 2019 (Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values) の 結果:
「For almost allN ≥ 1, the Collatz orbit ofNattains a value at mostf(N), for any functionf: N → Rwithlim_{N→∞} f(N) = ∞.」
これは 「density 1 の N が いずれ f(N) より 下 に 落ちる」 という density-based partial result。 Terras の 「density 1 の N が いずれ 縮小 する」 を 大幅に 強化 したが、 Collatz 予想 (density なし で 全 N が 1 に 到達) には 到達していない。 密度 argument が 密度 1 を 越えて 全部を 掴む 道具は、 現状 存在しない。
Antihydra の 停止確率 見積 (wiki: 10^−28,723,042,565、 arXiv App. C: <10^−200,000,000) は 「軌道 の 統計 が ランダムウォーク で 近似 できる」 という 単一初期値 8 の 単一軌道 に 対する 確率モデル に 基づいており、 「実際 に 停止 しない」 の 証明 は 存在しない。 [STEP 2124 corrigendum: 表現弱化] Tao 2019 の 密度 argument は 「ほとんど 全て の 初期値」 に 対する density 1 主張 で、 単一 の 初期値 の 特定 軌道 に ついて は 何 も 述べない。 Antihydra と Collatz が 共有 する の は 「密度 argument は 単一 軌道 に つい て 直接 は 何 も 言え ない」 という 点 であって、 「壁 が 同型」 と いう 強 主張 は 撤回 (別 quantifier scope、 別 難問 class、 同 「密度 argument 適用 の 限界」 の 共通 side observation のみ)。
10^−28,723,042,565 と arXiv 2509.12337 App. C の <10^−200,000,000 の 2 見積 で 143× 差 = 「モデル 依存 で 較正 でない」 の 直接 evidence⌊ξ · (3/2)^n⌋ の 偶奇 という 点 で Mahler Z-number 問題 に 近い と 指摘。 型 比較 の 相手 候補 として 記録 (私 side の 独立 数学的 verify は 未実施、 主張 しない)| # | 条件 | 発火時 の 処置 |
|---|---|---|
| (a) | Antihydra が 停止 or 非停止 の 一方 で 厳密証明 が 出る | 本 note の 「cryptid + probviously 較正 gap 型」 主張 の この 具体例 は 撤回 (較正 gap の 実演 として の 役割 が 完了)、 但し 型 主張 (「密度 argument の 壁 の 型」) は 保持 |
| (b) | Hydra function H(n)=⌊3n/2⌋ が Syracuse map T(n)=(3n+1)/2 の 「+1 抜き」 縮小 variant である という 型記述 が 数論的に 誤り (両者 の 停止性難問度 が 別 class と 判明) | 2.1 節 全体 撤回。 ★ FIRED 2026-09-19 (STEP 2124 corrigendum): chat-Claude relay via 藤本さん 指摘 → curl 生 HTML + PDF 独立 verify で CONFIRMED (Hydra は 奇 n で +1 → −1 の 差、 偶 側 は 正反対 挙動、 a≥2 で 狭義単調増加、 Antihydra は 単一軌道問題 で quantifier scope 別)、 §2.1 撤回 + §2.1-corrigendum 追加 + §2.3 表現弱化 + §2.2 数字 併記 実行 |
| (c) | Tao 2019 の 密度 result が Collatz 予想 に 直接 到達 する pathway が 発見される (density 1 → 全部 の bridge) | 2.3 節 の 「密度 argument の 壁」 主張 撤回 |
| (d) | Antihydra の halt probability (5−√12)^237 が モデル仮定 由来 ではなく ground truth 較正 と 判明 | 2.2 節 「較正 gap 純粋実演」 主張 撤回、 STEP 2118 cross-ref も 訂正 |
恒久禁止事項 (Pattern L 予防):
H(a) = a + floor(a/2) / a += a//2 = monotone growth 全 verbatim。 STEP 2124 corrigendum の 根拠)10^−28,723,042,565 と 143× 指数差 = STEP 2124 corrigendum の 主要 evidence)data/tabs/rei-aios-6c/antihydra-factcheck-2026-09-18.md (STEP 2117 起草前 の 独立 verify record)data/tabs/rei-aios-6c/factcheck-v2/{hydra_function.html, antihydra.html, arxiv_2509_12337.pdf, arxiv_2509_12337.txt} (STEP 2124 corrigendum 根拠 の curl 生 raw record)
本 note は 単発、 arc 化 しない。 Antihydra は Collatz を 解かない = Load-bearing invention #5「急がずゆっくりと」 遵守、 過主張 予防。 chat-Claude discipline soft-break 遵守 (独立 verify 完了 の 後 の site land)、 藤本さん explicit go (2026-09-18 「(b)+(c) 併用」) 経由 land。 STEP 2124 corrigendum (2026-09-19): chat-Claude relay via 藤本さん 指摘 → curl 生 HTML/PDF 独立 verify で 反証条件 (b) 発火 CONFIRMED、 事前登録 通り §2.1 撤回 (元記述 <del> preserve + §2.1-corrigendum 追加) + §2.3 表現弱化 + §2.2 数字 併記 (wiki 10^−28.7億 vs arXiv App. C 10^−2億、 143× 指数差 = モデル依存 = 較正 gap 直接 evidence) + Mahler Z-number 型近さ 記録 + Odlyzko-Wilf 定理 で 単調性 論証。 事前登録 反証条件 が 撤回 path を 事前確定 = discipline が operational に 働いた 実例。 chat-Claude 前回説明 の 「毎ステップ増加」 も 訂正 (正: a ≥ 2 で 狭義単調増加、 H(1) = 1 は 不動点、 Antihydra は 8 開始 な ので 結論 不変)。