STEP 1733 — R(D~) v0.3 decoder + distortion — savings を (savings, E[d]) の対に
2026-09-04 (JST) · rei-aios tab rei-aios-f9 (Cowork cloud session) STEP 1733 land ·
Predecessor: STEP 1732 v0.2 /
STEP 1729 v0.1
· Spec: data/tabs/rei-aios-f9/quantum-frontier-spike/spec-v0.1.md §5
Land 内容:
v0.3 LAND
1,232/1,232 PASS
v0.2 137/137
v0.1 63/63
UPPER BOUND, NOT R(D~)
v0.2 まで報告していた savings = (H(X) − H(X/~)) / H(X) は
H(X/~) ≤ H(X) から出る会計上の恒等式であって符号化の結果ではない。
v0.3 は 復元規則 (decoder) と 元アルファベット上の歪み尺度 を実装し、
報告単位を savings 単独から (savings, E[d]) の対に変更する。
対にすると 4 partition は R(D) 平面上の 4 点になる。単独の savings では議論の対象が存在しない。
1. Motivation — v0.2 が散文で述べたことを測定値にする
STEP 1732 の commit message は既に
「savings 最大 ≠ best（SELF-fixed は Belnap+古典 4 値 collapse で mass 87.7% 集中 = 情報消去代償）」
と述べていた。診断は正しかった。 v0.3 が加えるのは新しい洞察ではなく、
その散文を 測れる数 に昇格させることだけである。
なぜ対でなければならないか
商空間の rate は「受け手が class しか受け取らない」ことを前提にしている。
受け手が元の値を必要とするなら、class から元の値を復元する規則が要る。
復元は必ず誤りうるので、その誤りの量 = E[d] を rate と一緒に出さない限り、
savings は「情報を捨てた量」と区別がつかない。
2. 追加した API
| 追加 | 役割 |
|---|
POLAR_PAIR | D-FUMT₈ の極性対（TRUE↔FALSE / BOTH↔NEITHER / INFINITY↔ZERO / FLOWING↔SELF）。v0.1 の polar-role 分割から読み取ったもので、新規の発明ではない |
HAMMING_DISTORTION
POLARITY_DISTORTION
DISTORTION_REGISTRY | 元アルファベット上の歪み行列。0-1 と「極性反転は 2 倍」の 2 種。両方に declared: true を立て、導出ではなく宣言であることを型で明示 |
argmaxDecoder
optimalDecoder | MAP 復号器／歪み最適復号器。後者は class ごとに元アルファベット全体（class 内に限らない）から argmin を取る。class は独立なので厳密解 |
expectedDistortion | E[d(X, decode(toClass(X)))] |
rateDistortionPoints | 本命。登録済 4 partition を (savings, E[d]) の対として報告し、Pareto フラグを付ける |
isRefinementOf / refinementRelations | 4 partition の細分順序を hardcode せず計算で導出 |
hammingRatePoint
seedKernelRatePoint | 同じ修繕を一般アルファベットへ。SEED_KERNEL の 69.15% にも E[d] を付ける |
3. D-FUMT₈ 4 partition の (savings, E[d]) — 実測
合成 skewed 分布 [50,30,10,10,5,5,3,1]（H(X) = 2.2380 bits）、0-1 歪み、歪み最適復号器。
| Partition | Class 数 | H(X/~) | savings | E[d] | Pareto | 復号器 |
| Conservative |
4 | 1.8407 | 17.8% | 0.1667 | yes |
true→TRUE false→FALSE boundary→BOTH extended→INFINITY |
| Bivalent-only |
6 | 1.6113 | 28.0% | 0.1754 | yes |
true_or_both→TRUE false_or_neither→FALSE +4 singleton |
| v0.1 polar-role |
4 | 1.2757 | 43.0% | 0.4035 | yes |
classical→TRUE boundary→BOTH transcend→INFINITY process→FLOWING |
| SELF-fixed |
5 | 0.7596 | 66.1% | 0.4386 | yes |
evaluated→TRUE +4 singleton |
savings 順と E[d] 順が完全に一致した。
4 点は単調なトレードオフ曲線をなし、この 4 点の中では全てが Pareto 最適。
savings 最大の SELF-fixed は E[d] も最大で、その復号器は evaluated → TRUE、すなわち
FALSE / BOTH / NEITHER は復元不能。
STEP 1732 の「情報消去代償」が数値になった。
4. SEED_KERNEL 69.15% にも同じ修繕を — 実測
299 categories → 8 clusters | H(X) = 7.2901 → H(X/~) = 2.2493
savings = 69.15% E[d] = 0.7964
69.15% の削減は、約 80% の再構成誤りと引き換えである。
savings 単独報告がなぜ危険かを示す、本 arc で最も強い実例。
復号器は各 cluster をその最頻 category に復元する（meta→invention、math→number-system 等）が、
299 category を 8 cluster へ潰すため、大多数の理論は別 category として復元される。
5. 数値の帰属整理（訂正）
66.1% と 69.15% は別の情報源・別のアルファベットであり、1 つの arc の成果として並べると合成と実測が混ざる。
| 数値 | 由来 | アルファベット | 分布 |
|---|
| 66.1% | STEP 1732 | D-FUMT₈ 8 値 → SELF-fixed 5 class | 合成 skewed [50,30,10,10,5,5,3,1] |
| 69.15% | STEP 1729 measureSeedKernel | SEED_KERNEL 299 category → 8 cluster | 実測 1,685 理論 |
6. 検証 — トレードオフが実装の副作用でないことの担保
- 細分順序を計算で導出（hardcode せず）→ 4 partition 中、厳密な包含関係は
bivalent_only ⊑ self_fixed の 1 組のみ
- その 1 組について、乱数 200 試行 × 2 歪み行列で rate 単調増 かつ distortion 単調減 を確認
- 0-1 歪みでは MAP 復号器が歪み最適復号器と一致することを、全復号器組の総当たり（最大 8⁶ = 262,144 通り）と照合
- 閉じた式
E[d] = 1 − Σ_c max_{x∈c} p(x) と数値の一致を 3 分布 × 4 partition で確認
- 退化例（点質量・一様・長さ不正入力）を個別に固定
7. Honest scope
- v0.3 が出すのは達成可能点 = R(D~) の上界であって、R(D~) そのものではない。
R(D~) は歪み ≤ D の全符号にわたる下限であり、固定 partition + 固定復号器は 1 点にすぎない
- Pareto 判定は登録済 4 partition 内に限る。 D-FUMT₈ の分割は全 4,140 通り（Bell(8)）
- codec 往復は行っていない。 E[d] は解析的に計算した値であり、符号器・復号器の実装往復による実測ではない
- 歪み行列は宣言であって導出ではない（
declared: true）。応用が変われば行列も変わる
- 定理ではない。Berger 1971 の商空間レート歪み一般論の specific instance にとどまる
8. Test
$ npx tsx test/step1733-r-d-tilde-v03-decoder-distortion-test.ts
partition classes savings% E[d] Pareto decoder
conservative 4 17.8 0.1667 yes true→0 false→1 boundary→2 extended→4
bivalent_only 6 28.0 0.1754 yes true_or_both→0 false_or_neither→1 infinity→4 zero→5 flowing→6 self→7
v01_polar 4 43.0 0.4035 yes classical→0 boundary→2 transcend→4 process→6
self_fixed 5 66.1 0.4386 yes evaluated→0 infinity→4 zero→5 flowing→6 self→7
strict refinement pairs: bivalent_only ⊑ self_fixed
SEED_KERNEL: 299 categories → 8 clusters | H(X)=7.2901 H(X/~)=2.2493 | savings=69.15% E[d]=0.7964
=== STEP 1733 result: 1232 passed, 0 failed ===
$ npx tsx test/step1732-r-d-tilde-v02-alternative-partitions-test.ts
=== STEP 1732 result: 137 passed, 0 failed === (v0.2 backward compat 維持)
$ npx tsx test/step1729-r-d-tilde-test.ts
結果: 63 passed, 0 failed (v0.1 backward compat 維持)
9. 継続候補 (v0.4+ backlog)
- (a) 4,140 分割の全探索による真の Pareto frontier（Bell(8) は総当たり可能な規模）
- (b) 実際の codec 往復（算術符号／rANS）による E[d] の実測 — 現状は解析値のみ
- (c) D>0 での R(D~) closed form（measure theory framework 必要）
- (d) Blau-Michaeli R(D,P) perception 軸の統合
- (e) D-FUMT₈-valued な実 data source（verdict ledger / d8_table 出力）での 4 partition 測定 — 現状 D-FUMT₈ 側は合成分布のみ
- (f) Lean 4 formalization（別 tab rei-aios-bc territory）land 後の cross-project consumption
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