t1 Lyapunov Verifier — 「装置が発見できないかが構造を教える」 の Rei-side 独立測定

n_max  |  best α  |  descent ratio  |  ceiling 100% reached
   10  |  0.80    |  80.00%         |  NO
  100  |  0.80    |  87.00%         |  NO
 1000  |  0.80    |  87.40%         |  NO
10000  |  0.80    |  87.49%         |  NO

予想 (STEP 624 §7.1 verbatim より導出)

Case 6 (n%32=15, 4 trailing 1-bits, (3/2)^4 ≈ 5.06x wall) + Case 8 (n%32=31, 5 trailing 1-bits, (3/2)^5 ≈ 7.59x wall) = 「genuine mathematical gap」 → failure が Case 6 + Case 8 に **concentrate** すべし。

実測 (α = 0.80, n ∈ [1, 10000])

STEP 624 Case	Failure count	Ratio	Note
Case 1 (even, n%2=0)	1250	99.92%	★ 予想外 concentration
Case 2 (n%4=1)	1	0.08%	proven ∀n descent
Case 3-5, 7	0	0.00%	proven ∀n or sub-classes
★ Case 6 (n%32=15)	0	0.00%	★ 予想と 異なる = 「gap」 に concentrate しない
★ Case 8 (n%32=31)	0	0.00%	★ 予想と 異なる = 「gap」 に concentrate しない

Root cause 分析 — Worst case

n = 8190 (binary 1111111110), t1(8190) = 0
pairedStep(8190) = 8190/2 = 4095 (binary 111111111111), t1(4095) = 12
V_before = log₂(8190) + 0.8·0 = 13.00
V_after  = log₂(4095) + 0.8·12 = 12.00 + 9.60 = 21.60
delta = +8.60 (huge V increase due to sudden t1 jump)

Pattern: 偶数 n = 2 · (2^k - 1) = 2^(k+1) - 2 で n/2 = 2^k - 1 = all-ones number。 t1 が 0 → k と 巨大 jump。 α = 0.80 加重で α · k = 0.8k のペナルティ として V に加算 → Lyapunov 破綻。

意味: α = 0 では V = log₂(n) だけで Case 1 (even n → n/2) は 常に descent (log₂ 減少 1)。 α = 0.80 加重で t1 差 (0 → k) が **副作用として failure に転化**。 STEP 624 gap は α = 0 では visible、 α = 0.80 では 別 pattern に置換わる。

Finding 3 (Case 1 all-ones jump 99.92% 予想外 concentration) の 次段: Lyapunov 関数族拡張 candidate 3 種 (非線形 f(t1) + piecewise α_case + multi V(n, α, β)) を 実装 + comparison sweep で 「単一 α 限界を超えるか」 測定。 結果 = 全 9 family で ceiling 100% 未達、 linear α=0.80 baseline (87.49%) を 超えるものなし。

Extended Lyapunov Comparison Sweep (n ∈ [1, 10000])

Family	descent %	ceiling
linear α=0.80 (baseline)	87.49%	NO
linear α=0.00 (log only)	50.00%	NO
(I) nonlinear quadratic α=0.20	68.71%	NO
(I) nonlinear exponential α=0.80	62.47%	NO
(I) nonlinear threshold-4 α=0.80	87.49%	NO
(II) piecewise DEFAULT (even=0.0, case6=2.0, case8=2.5)	87.49%	NO
(III) multi α=0.80 β=1.00 (V + β·t0)	68.75%	NO
(III) multi α=0.80 β=0.50	62.50%	NO
(III) multi α=0.00 β=1.00	50.00%	NO

Structural verdict

• 全 9 family で ceiling 100% 未達 = Lyapunov invariant 単一 candidate なし
• 拡張 3 種 (nonlinear/piecewise/multi) 全て 同等 or 未満 = 「拡張しても Case 6+8 wall と Case 1 all-ones jump 同時 cover 不能」
• Best = linear α=0.80 (baseline)、 improvement = +0.00 pp、 ceiling achieved by = NONE

chat-Claude 「装置が発見できないかが構造を教える」 命題の 5 系統目 evidence

1. ceiling 87.49% 未達 (STEP 624 wall との operational aligned)
2. 予想外 Case 1 concentration (Finding 3 = 4 系統目 evidence)
3. ★ 拡張しても突破不能 (Finding 4 = 5 系統目 evidence)

= 装置が 予想外の限界を 2 段階 (Finding 3 + Finding 4) で 教えた operational evidence。

実装 file (STEP 1311 arc)

• data/lean4-transfer/verifiers/t1-lyapunov-extended.ts (270 行、 3 family + comparisonSweep + report)
• data/lean4-transfer/verifiers/t1-lyapunov-extended.test.ts (test 18/18 PASS)
• data/lean4-transfer/verifiers/FAILURE-ANALYSIS-FINDING.md Finding 4 追記

Finding 4 implications (別 STEP candidate)

• Lyapunov 以外の invariant 探索: 情報エントロピー H(orbit prefix) or Kolmogorov complexity approximation (compression ratio)
• Non-pairedStep step function (single-cs 直接) の Lyapunov 測定
• n_range 依存 α_case(n%256 or deeper subdivision) — STEP 624 sub-class level match
• negative result 価値: Finding 4 自体が Rei-side operational evidence = 「単純な Lyapunov 拡張は Collatz descent 証明 の 決定的 tool にならない」 の 経験的裏付け

Finding 4 「Lyapunov 拡張しても突破不能」 の 次段 = Lyapunov 以外の invariant 探索。 情報論的 measure (Shannon entropy + RLE compression + Hamming distance) で Collatz orbit の 「情報の減少」 を 独立 measure。 結果: Shannon entropy 99.20% breakthrough (Lyapunov linear 87.49% を +11.71 pp 上回る) + RLE compression 0% 独立 negative (Kolmogorov approximation candidate なし)。

Information Entropy Sweep 実行結果 (n ∈ [2, 1000])

Invariant	DECREASES for	Avg delta	判定
Shannon entropy H (binary rep start vs end)	991/999 = 99.20%	-0.9151	★ candidate 有望
RLE compression ratio	0/999 = 0.00%	+0.5762	✗ candidate なし
Reached 1	999/999 = 100.00%	—	—

Worst entropy INCREASE: n=3, delta=+0.00 (essentially none) / Worst compression INCREASE: n=511, delta=+1.44。

Structural verdict — Finding 4 の 部分 answer

• Finding 4 「拡張しても突破不能」 は Lyapunov family 内 の話
• 情報エントロピー は 別 category (情報論的 measure) = 部分的 breakthrough 可能
• 87.49% (Lyapunov linear best) → 99.20% (Shannon H) = +11.71 pp improvement
• 但し 100% ではない = Collatz 予想 の 決定的 tool には至らない
• RLE (K-complexity approximation) 独立 failure = 情報エントロピー candidate は 「情報量 measure」 に 限定、 「情報の粗さ (compressibility)」 measure は 別 pattern

chat-Claude 「装置が発見できないかが構造を教える」 命題の 6 系統目 evidence

Finding 5 は 前 5 系統 (Blueprint pilot + 4-substrate + QED equivalent + Finding 3 + Finding 4) に加えて、 「情報量減少」 と 「情報の粗さ増加」 は 独立 pattern という 予想外 sub-discovery を含む。 装置が 「部分 breakthrough 見えたが 更に別 pattern を 発見」 という 2 段階 discovery。

Terence Tao 2019 「almost all n」 との operational aligned

Tao 2019 の 情報論的 argument (「almost all Collatz orbits eventually reach a small enough value」) と operational aligned。 Shannon 99.20% は 「almost all」 empirical bound の operational shadow。 証明ではない、 empirical evidence のみ = 「情報エントロピー が Collatz invariant」 数学的主張は verify 前 (Rei-side 独立到達 evidence として value)。

実装 file (STEP 1312 arc)

• data/lean4-transfer/verifiers/information-entropy-verifier.ts (350 行、 3 invariant: Shannon H + RLE compression + Hamming distance + measureEntropyDescent + informationSweep + report)
• data/lean4-transfer/verifiers/information-entropy-verifier.test.ts (test 16/16 PASS)
• data/lean4-transfer/verifiers/FAILURE-ANALYSIS-FINDING.md Finding 5 追記

Finding 5 次段 candidate (STEP 1313 arc)

• Sliding window entropy: orbit prefix vs suffix の 情報量 local measurement (99.20% を 100% に近づける sub-pattern 検出)
• Rényi entropy H_α (α ≠ 1): Shannon (α=1) 拡張 = Rényi 2 (collision entropy) or H_∞ (min-entropy)
• LZ77 or Ziv-Merhav complexity: RLE より accurate な K-approximation で 「情報の粗さ」 measure 改善
• ★ Hybrid V(n, α, γ) = log₂(n) + α·t1(n) + γ·H(orbit prefix): Lyapunov (87.49%) と Shannon H (99.20%) の 統合可能性

Finding 5 「Shannon H 99.20% partial breakthrough」 の 次段 = Hybrid V(n, α, γ) = log₂(n) + α·t1(n) + γ·H(orbit prefix) の grid search + Sliding window entropy の local behavior 検出。 結果: Hybrid grid 20 configs 全て 87.40% 突破不能 + Sliding window は 41.33% しか一貫 decrease せず 平均 delta +0.0343 = INCREASE = 「情報エントロピー global measure (Finding 5)」 と 「local measure (Finding 6)」 の 独立 pattern 分離。

Hybrid V(n, α, γ) Grid Search (n ∈ [1, 1000])

Configuration	descent %	ceiling
Linear α=0.80, γ=0 (baseline)	87.40%	NO
Entropy-only α=0, γ=1	50.00%	NO
Grid 4α × 5γ = 20 configs (best)	87.40%	NO
Improvement over linear	+0.00 pp	—
Ceiling 100% achieved	NONE

Structural verdict: γ (entropy weight) 加算しても Lyapunov linear 87.40% ceiling を 突破不能。 「orbit prefix Shannon H」 を V に 加算しても 87.40% 一定 = Shannon H は 「Lyapunov 用の 加算 potential」 として 動かない。

Sliding Window Entropy Sweep (n ∈ [2, 500], window=5)

Metric	Value
Avg monotone-decrease ratio (per orbit)	41.33%
Min monotone-decrease ratio	0.00%
Orbits with 100% monotone decrease	1 / 499 = 0.20%
Avg entropy delta (first vs last window)	+0.0343 (INCREASE)

Structural verdict: Sliding window では H が 一貫しない = Finding 5 の 「start-bits vs end-bits 99.20% decrease」 は **global measure 限定**、 local window measure では pattern 崩れる (平均で INCREASE)。

★★ Finding 6 意味 — Finding 5 の 具体構造 revealing

• Finding 5 (STEP 1312): start-bits vs end-bits で Shannon H は 99.20% decrease (global measure)
• Finding 6 (STEP 1313): sliding window では H は 41.33% しか一貫 decrease せず + hybrid V+γ·H も 87.40% 突破不能

= 「情報エントロピー breakthrough は global measure 限定、 local measure で pattern 崩れる」 の 独立 discovery。 Collatz orbit の 「情報構造」 は:

1. 全体で見ると 情報量は 減少 (Finding 5、 start vs end)
2. 窓を通して見ると 情報量は 一貫でなく 揺れる (Finding 6、 sliding window)
3. Lyapunov + entropy hybrid でも 87.40% ceiling を 突破しない (Finding 6、 grid search)

= 単純な linear combination では 情報エントロピー breakthrough を Lyapunov ceiling に統合できない。

chat-Claude 「装置が発見できないかが構造を教える」 命題の 7 系統目 evidence — 予想外の限界を 3 段階で 教えた

• Finding 3 (Lyapunov 予想外 concentration) = 予想外 pattern
• Finding 4 (拡張しても突破不能) = 予想外の限界
• Finding 5 (Shannon 99.20% partial breakthrough) = 別 category の 部分 breakthrough
• ★ Finding 6 (Hybrid + Sliding 二重 negative) = breakthrough を hybrid で 統合不能 + local-global 分離

実装 file (STEP 1313 arc)

• data/lean4-transfer/verifiers/hybrid-lyapunov-entropy.ts (330 行、 Hybrid V(n, α, γ) grid search + Sliding window entropy sweep)
• data/lean4-transfer/verifiers/hybrid-lyapunov-entropy.test.ts (test 7/7 PASS)
• data/lean4-transfer/verifiers/FAILURE-ANALYSIS-FINDING.md Finding 6 追記

Finding 6 次段 candidate (defer 領域 STEP 1314 arc)

• Non-linear hybrid: V(n) = log₂(n) · f(t1(n), H) with f non-linear (linear combination 限界を非線形で突破試み) — defer #6
• Rényi entropy H_α (α ≠ 1): min-entropy H_∞ or collision entropy H_2 で Finding 5 pattern 変化検証 — defer #7
• LZ77 / Ziv-Merhav complexity: RLE より accurate な K-approximation で Finding 5 RLE 0% negative の 精度改善 — defer #8
• 情報エントロピー lookahead: 「未来 orbit prediction difficulty」 measure (Terence Tao 2019 「almost all n」 argument に closer) — defer #9

全 4 candidates は 藤本さん judgment で defer (「defer 領域」 明示 per)、 各 conditional defer (trigger 明示 in memory/project_defer_records_2026-08-10.md)。