ZCE 超圧縮 — シャノン・鳩の巣を「外側に置く」記法

研究概要

ZCE (Zero-Center Encoding) Ledger Notation は、情報を 4 つの「口座」に分けて記録する記法 (spec v0.3.2)。

各記号 (glyph) が 4 口座のどれに帰属するかを、記法自身が目に見える形で示す。

Ctx (Context)
共有文脈: 送受信者が既に共有している情報

Cmp (Compute)
計算: 送信せず受信者が導出する情報

Cls (Class)
クラス指示: 意味量 (区別不要の深度)

Ch (Channel)
通信路: 実際に送信される bit

保存則 (§4): N(c) = Ctx + Cmp + Cls + Ch (reading 統語長で恒等式)

「シャノン超え」ではなく「外側に置く」

シャノン限界 E[Ch] ≥ H(X) と鳩の巣原理 |X| ≤ ∏ |Codeword| は破らない。これらは定理 (Cover-Thomas Ch 5)。

ZCE の novelty は、コストを他の口座に移動させて記法で明示すること:

受信者が既知の文脈 (Ctx) は Ch に計上しない
受信者が計算で導出 (Cmp) は Ch に計上しない
Class-marker で区別不要な単位 (Cls) は「意味量」として別会計
実際に channel を通る (Ch) だけが Shannon 下界の対象

シャノン限界は Ch 口座に対しては真。他口座 (Ctx/Cmp/Cls) の存在を否定せず、記法で見える化する = 限界は動かさず、限界の外側に働き場所を置く。

Prior art: Wolpert-Kolchinsky 2020 (per-subsystem Landauer 分割) と直交軸 (情報論的 role 分割)。 Vitányi 2001 K(x) ≈ K(S) + log|S| と独立 (Ctx/Cls 分割は Vitányi 既存に含まれる、ZCE の novelty は「per-unit ledger + syntactic-level readability」の 2 点、Lane A/B/C prior-art audit で lock)。

Ledger 実験室 (実時間解析)

ZCE 文字列を入力すると、4 口座の分解と保存則を即座に verify します。

Class-marker 採算性

% marker が「送るコストが節約になる」条件: savings = r − (1 + m) > 0

r (意味量) = Cls に付替する単位数
m (統語量) = marker argument の digit 桁数
+1 = % 自身の 1 glyph

意味量 r (付替する Cls 単位数) 5

encoding 方式選択

unary (marker=1+r glyphs)

log-scale (marker=2+digits(r))

SELF⟲ (r=10^n only、marker=3+digits(n))

unit kind (STEP 1765 corrigendum)

non-negation unit (Ctx / Cls / Ch)

negation unit (Cmp unit、Ch は marker only)

節約 (savings)

r=5, m=1 → 5 − (1 + 1) = 3 glyph 節約

意味量 r

統語量 m

総 marker cost

採算性

viable ✓

SELF⟲ (自己適用) tower_10

Class-marker で %..n のように . を重ねると、意味量 r が指数タワーで爆発:

dot_depth=1  (%.n)   →  r = n
dot_depth=2  (%..n)  →  r = 10^n
dot_depth=3  (%...n) →  r = 10^(10^n)

dot_depth (leading `.` 数) 2

digit n 2

意味量 r = tower_10(dot_depth − 1, n)

100

%..2 → r = 10^2 = 100

marker glyph 数

r / glyph 比 (効率)

安全 cap (10^100)

Safety cap: 中間指数 > 100 (googol) で OverflowError (現実的 encoding boundary)

3 つの「外側」不等式 (spec §5)

ZCE ledger が「外側に置く」と主張する 3 種の下界を全て機械検証済み (Lean 4、STEP 1761-1762):

§5.1 Shannon SCT (Wyner-Ziv 側情報付)

E[Ch] ≥ H(X | K, [·])

novelty 主張禁止 = Wyner-Ziv 1976 restatement / Lean 4: binary uniform case 実装済 (STEP 1762)

§5.2 Kolmogorov 不変性

Ch + Cmp ≥ K(x | K) − O(1)

novelty 主張禁止 = Kolmogorov 1965 / Chaitin 1966 / Solomonoff 1964 restatement / K axiom import 要、Lean 4 で v0.4 phase 3 pending

§5.3 Pigeonhole on 4-tuple

|X| ≤ |Code| · |K| · |Prog| · |Class|

Mathlib Nat.card injection、axiom-free 実装 (STEP 1761)。「単射数え上げ」内容薄、成果前出し禁止

Pigeonhole 実験

|Code|4

|K|8

|Prog|2

|Class|4

|X| 上界 = |Code| × |K| × |Prog| × |Class|

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この上界を超える |X| は単射 encoding 不可能 (鳩の巣原理)

Encoding 比較実験 (同 r を 3 方式で送る)

同じ意味量 r を unary / log-scale / SELF⟲ で表現、glyph コストを比較:

比較する r 100

r が大きくなるほど SELF⟲ の効率が段違いに上がる (指数 vs 線形 vs log)。実用は log-scale がバランス良、SELF⟲ は稀な巨大値専用。

実験結果 (ledger_check.py 14/14 PASS)

STEP 1755-1759 累計の Python executable spec verification 結果:

#	表記	Ctx	Cmp	Cls	Ch	N	結果

保存則: N = Ctx + Cmp + Cls + Ch (reading 統語長)。全 example で glyph 実測と ledger 合計が一致。 Row 6 は accounting-only close (semantic `...` operator は v0.4 defer)。

Lean 4 機械検証 (v0.4 phase 1 現在)

3 不等式のうち Lean 4 で lake build success + axiom footprint 実測済:

Result	Type	Axiom footprint	Status
conservation_identity	Lemma	なし (zero-axiom)	✓ STEP 1761
pigeonhole_zce	Theorem	[propext, Classical.choice, Quot.sound]	✓ STEP 1761
kraft_binary_min_length	Theorem	[propext, Classical.choice, Quot.sound]	✓ STEP 1762
shannon_sct_binary_uniform	Theorem	[propext, Classical.choice, Quot.sound]	✓ STEP 1762
shannon_sct_general	Theorem	(v0.4 phase 2 pending)	⏳
kolmogorov_invariance	Theorem	(K axiom import 要、v0.4 phase 3)	⏳