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name: STEP 783 — Across-Orbit K-Complexity Negative Result
description: 3 across-orbit invariants (mod 96 / fiber-57 / Chang∩Rei) 全て K/L > 2.4 でランダム. tier2_axiom two-sided negative result.
type: project
originSessionId: b6f03743-aa9a-4c69-8497-4a6c3748fb09
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# STEP 783: Across-Orbit K-Complexity Direct Attack (2026-04-14)

## 概要
STEP 780b (within-orbit 全 AIT-random) を受け、tier2_axiom の数学的実体が **across-orbit invariant** にあるか検証。**結果: 両側 negative**。

## 測定結果

| 不変量 | 長さ | Shannon H | BDM K | K/L | 判定 |
|--------|------|-----------|-------|-----|------|
| (A) **MOD_96_READY** (48-bit READY_96 indicator) | 48 | 1.0 | 128.7 | **2.6824** | RANDOM |
| (B) **FIBER_57_TREE** (25 cores gateway) | 25 | ~1.0 | 60.5 | **2.4216** | RANDOM |
| (C) **CHANG_REI_INTERSECT** (25 cores ∈ Chang I₂) | 25 | ~0.86 | 61.7 | **2.4688** | RANDOM |

**ベースライン**:
- Pseudo-random 48-bit: K/L=2.755 — 全 3 不変量はほぼ同水準
- All-zeros: K/L=0.575 (STRUCTURED, sanity ✓)
- STEP 780b 25 atomic cores mean: K/L=2.30, H=0.94

## 仮説検証結果

**★ 期待 ★**: across-orbit invariant は K/L < 1.0 で構造化 → tier2_axiom 数学的実体
**★ 実測 ★**: 全 3 不変量 K/L > 2.4 → within-orbit より **更に非圧縮** という逆結果

**仮説 REJECTED**.

## ★★ Two-Sided Negative Result ★★ (最重要発見)

```
                 K/L ratio
STEP 780b (per-orbit parity): 2.30
STEP 783 (across-orbit simple): ~2.5 (更に高い)
```

tier2_axiom の structural payload は以下の **どちらにも** 存在しない:
- per-orbit parity sequence (STEP 780b)
- simple across-orbit labelings (STEP 783: mod residue / fiber / Chang core)

## 次手への制約

naive labeling strategy が両側で失敗したので、tier2_axiom の target は:

1. **Full residue DAG with edge labels** — mod 96 residues の遷移グラフ全体
2. **Higher-moduli lift saturation** (mod 192/384/.../49152 で HARD=25 saturate 構造)
3. **Joint invariants** (residue × parity-prefix × peak-family × trailing-ones) 組合せ
4. **Orbit-ensemble operator** — 単一 bit string でなく operator-valued (transfer operator 等)

## 科学的価値

Negative result は natural conjecture を排除し、次 STEP の探索空間を狭めます:
- "25 atomic cores の simple labeling" は dead end
- tier2_axiom は **joint/higher-order** 情報を encode する必要がある
- PyBDM 1-D binary 解像度の限界 (≤127 bits で K/L ~2.5 が天井) を考慮

## Schnorr-D-FUMT₈ 視点

STEP 781 で Collatz core = BOTH (L3 broken) と判定したが、**L3 broken のレベルが想定より深い**可能性:
- simple labelings は L3 martingales を defeat (= AIT-random)
- tier2_axiom を捉えるには **L2 Markov-style joint invariant** へ戻る必要がある
- または **Schnorr L3 の高次 variant** (depth-bounded computable martingale) へ

## Test / コード / コミット

- **30/30 pass** (`test/step783-across-orbit-k-test.ts`)
- `src/axiom-os/across-orbit-invariant-engine.ts` (engine)
- `scripts/pybdm-across-orbit-invariants.py` (Python PyBDM driver)
- `data/pybdm-across-orbit-invariants.json` (raw results)
- Commit `0db9c63` — "feat(STEP 783): Across-Orbit K-Complexity — Negative Result on tier2_axiom"

## 次回 Claude への申し送り

### 確定事項
- Collatz の structural payload は naive labeling では捕捉不能 (両側 random)
- tier2_axiom は依然 open、しかし探索方向が絞られた

### 推奨次手 (STEP 784 候補)

**最優先**: Joint invariant 実験
- 25 atomic cores を (mod 96 residue, trailing-ones count, peak-family, K(n) ratio) の 4-tuple で encode
- 4×25 = 100-bit string を PyBDM 測定
- 期待: K/L < 2.0 (joint 相関で圧縮)

**次点**: Higher-moduli signature
- mod 49152 = 25 hard cores の residue list (15-bit × 25 = 375 bit)
- PyBDM では長すぎるが Shannon H は計算可能
- 構造化の signature を探す

**第3**: Transfer operator matrix
- Koopman/Perron-Frobenius matrix (mod 96 で 48×48)
- spectral properties に K-complexity 相当の構造化指標あり

### 避けるべき道
- 単一 bit string の naive labeling (STEP 783 で排除)
- per-orbit 圧縮性依存 (STEP 780b で排除)