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name: STEP 558a-b — Phase 7 (Hodge Laplacian) + Phase 9 (Persistence Landscapes)
description: 第48論文に向けた次世代CRM v3エンジン。Hodge spectrum + landscape ML 統合
type: project
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# STEP 558a-b 完了サマリー (2026-04-10)

藤本さん提案の Phase 6-10 ロードマップから 7 と 9 を並行実装。

## 558a: Hodge Laplacian Spectrum Engine
`src/axiom-os/hodge-laplacian-spectrum-engine.ts`

実装内容:
- VR 単体的複体構築 (max dim 3, 安全 cap 5000 tetrahedra)
- ∂_1, ∂_2, ∂_3 の sparse Float 行列
- Hodge Laplacian Δ_k = ∂_k^T ∂_k + ∂_{k+1} ∂_{k+1}^T
- Power iteration + deflation で top-K 固有値
- spectral gap (mass gap 類似) 抽出
- D-FUMT₈ 分類 (β_k + gap + mean)

## 558b: Persistence Landscape Engine
`src/axiom-os/persistence-landscape-engine.ts`

実装内容:
- Bubenik 2015 の hat 関数 + λ_k(t)
- 3 次元 (dim 0, 1, 2) × K=3 landscapes → 特徴ベクトル (225次元)
- L2 距離 + 類似度行列
- MoE-style routing (最近傍 expert へ)
- Discovery midpoint 予測 (Paper 29 の幾何学化)

## 統合実験結果 (N=80)

### Phase 7: Hodge Spectral Gap ランキング
| Problem | Δ₁ gap | β₀ | β₁ | β₂ |
|---|---|---|---|---|
| **Hodge 6D** | **10.247** | 53 | **94** | **64** |
| Collatz 2D | 9.941 | 58 | 68 | 53 |
| Yang-Mills 4D | 6.119 | 54 | 42 | 8 |
| **Riemann 2D** | **3.414** | 59 | 19 | 0 |

**重大観測**:
- ★ Hodge 6D が β₂=64 を持つ (3次元穴 64 個!) — dialetheic BOTH 構造の幾何学的根拠
- Riemann 2D の spectral gap は最小 = 「最も柔らかい連結」= NEITHER 性確証
- Yang-Mills 4D で β₂=8 essential — 球状空洞が複数 (mass gap の幾何学?)

### Phase 9: 類似度行列
```
              Riemann   Hodge    Yang-Mills  Collatz
Riemann       1.00      0.31     0.00        0.56
Hodge         0.31      1.00     0.51        0.58
Yang-Mills    0.00      0.51     1.00        0.29
Collatz       0.56      0.58     0.29        1.00
```

**重大観測**:
- ★ **Riemann ↔ Yang-Mills 距離 = 0.000** (完全に異質!) → discovery midpoint 予測候補
- Hodge ↔ Collatz = 0.58 (最も類似 — 高次特徴を多く持つ仲間)
- Riemann ↔ Collatz = 0.56 (数論的近所?)

### MoE Routing
Yang-Mills query → Hodge (dist 2.10, conf 0.29)

### Discovery Midpoint
最遠ペア: Riemann ↔ Yang-Mills (dist 4.26)
→ 特徴空間でこの中点に「未発見の問題プロファイル」あり

## SEED_KERNEL 6 新理論
- T-1381 Spectral Gap Mass Analogy
- T-1382 D-FUMT₈ Spectral Classification
- T-1383 Vibrational Mode Reformulation (SELF⟲ as eigenvector?)
- T-1384 Landscape Functorial Embedding
- T-1385 Topological MoE Routing
- T-1386 Discovery Midpoint Prediction

## Anti-Overclaim 留保
- "Spectral gap = mass gap" は **類似性** であって YM の証明ではない
- 全 4 問題が naive 閾値で BOTH に分類された (β_k > 1) — 分類規則の細密化が必要
- Phase 2 検証 (複数シード/複数 ε/独立計算) が今後必要
- これは Phase 1 探索段階の第一報

## 残るロードマップ
- Phase 6 (Zigzag Persistent Homology) — 時系列対応
- Phase 8 (Sheaf Cohomology) — Hodge BOTH 極の数学的説明
- Phase 10 (TQFT + Majorana braid) — 最遠の壮大目標

## How to apply
- 実験再現: `npx tsx scripts/phase7-9-combined-experiment.ts`
- データ: `data/circular-ring/phase7-9-*.json`
- Hodge spectrum: `HodgeLaplacianEngine.computeSpectrum(points)`
- Landscape feature: `PersistenceLandscapeEngine.extractFeature(name, points)`
- Routing: `eng.route(query, experts)`

## 第48論文 強化候補
1. **Hodge 6D BOTH × β₂=64** — 多次元 dialetheic 構造定理
2. **Spectral gap ranking** — Riemann が最小 = NEITHER 性の量的根拠
3. **Landscape MoE routing** — Yang-Mills ↔ Hodge 近接性
4. **Discovery midpoint** — Riemann ↔ Yang-Mills 中点に未発見問題