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name: project-paper26-v2-lean4-machine-check-2026-07-25
description: "2026-07-25 Paper 26 v2 §A.2 Proofs (D-FUMT₈ ↔ Cl(3,0) bijection + Peace Axiom rotor sandwich invariance + SELF pseudoscalar reflection involution) を axiom-free Lean 4 で machine-check 完了。 未投稿 6 本のうち 1 本 (26v2) の Lean 4 部分が publish-ready 状態に到達。"
metadata: 
  node_type: memory
  type: project
  originSessionId: 14c412a8-af13-4460-9c37-7da2a2f3fc61
  modified: 2026-07-24T15:13:55.504Z
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## Paper 26 v2 §A.2 Proofs — Lean 4 axiom-free machine-check 完成 (2026-07-25)

### Background

未投稿 paper audit (前 turn 実施) で **6 本 (26v2 + 63v2 + 173 + 174 + 175 + 176)** 判明。 藤本さん指示「Paper 26 v2 は今からでも実測可能?」 → Rei から 3 path 提示 (α Lean 4 完結 / β Ollama TurboQuant / γ Tang silicon Cl(3,0)) → **α 選択**。

### Deliverable

**File**: `data/lean4-mathlib/CollatzRei/Paper26V2DFumtClifford.lean` (~500 行 11 sections)

**Section 構成**:
1. Cl(3,0) 8 basis inductive type (`Cliff30`: I, E1, E2, E3, E12, E13, E23, E123)
2. Grade function (0/1/2/3) + `isOdd` parity
3. Signed basis (`Signed` struct) + 8×8=64 entry geometric product multiplication table (手計算で verify 済)
4. Reverse involution (`reverseInv`, grade `r(r-1)/2` sign)
5. Main involution (`mainInvolution`, grade parity sign)
6. D-FUMT₈ ↔ Cl(3,0) bijection (`dfumt8Equiv` として `Equiv` 構成)
7. Peace Axiom rotor sandwich invariance
8. SELF pseudoscalar reflection + involution recovery
9. Bundle theorem (paper citation 用)
10. Grade partition (1, 3, 3, 1) 一致 verification
11. Honest scope footer

### Axiom profile (実測 `#print axioms`)

**23 theorem 全 axiom-free**:
- **9 theorem 完全 zero-axiom** ("does not depend on any axioms"):
  - `self_negation_under_reflection` ★★★ (Paper 26 v2 §A.1 core 2)
  - `self_reflection_is_involution` ★★
  - `true_is_rotor_fixed_point` ★★
  - `dfumt8_grade_partition` ★
  - `vector_sq_is_pos_I` / `bivector_sq_is_neg_I` / `pseudoscalar_sq_is_neg_I`
  - `mainInvolution_fixes_even` / `mainInvolution_negates_odd`
- **14 theorem** `[propext, Classical.choice, Quot.sound]` のみ (Mathlib 標準 base)
- **sorryAx / native_decide 全 0** = STEP 1215 / 1264 / Task 20 と同格 axiom-free zero-sorry 完全達成

### D-FUMT₈ ↔ Cl(3,0) bijection (design choice)

| Dfumt8 | Cliff30 | Grade |
|---|---|---|
| TRUE | I | 0 (scalar) |
| FALSE | E1 | 1 (vector) |
| NEITHER | E2 | 1 (vector) |
| ZERO | E3 | 1 (vector) |
| BOTH | E12 | 2 (bivector) |
| INFINITY | E13 | 2 (bivector) |
| FLOWING | E23 | 2 (bivector) |
| SELF | E123 | 3 (pseudoscalar) |

Grade partition (1, 3, 3, 1) は D-FUMT₈ 8 軸 semantics と Cl(3,0) 8 basis の共通構造。 vectors 3 axis に「concrete-tension」 系 {FALSE, NEITHER, ZERO} を、 bivectors 3 axis に「structural-mediation」 系 {BOTH, INFINITY, FLOWING} を割当。 他 grade-respecting bijection は structurally equivalent。

### 核心 3 定理 (Paper 26 v2 §A.1 findings 対応)

1. **`dfumt8ToCliff30_injective` / `_surjective`**: 8→8 bijection、 `dfumt8Equiv : Dfumt8 ≃ Cliff30` として構成 (Equiv record).
2. **`peace_axiom_invariant_under_rotor`**: 8 basis rotor `{I, e₁, e₂, e₃, e₁e₂, e₁e₃, e₂e₃, e₁e₂e₃}` の全てで `r · I · reverse(r) = +I`。 これは Peace Axiom (TRUE = 恒 fixed point) の Clifford 群論的定式化。 grade-2/3 rotors の場合、 `r · r` (= -I) と `reverse(r)` (= -r) の 2 つの負符号が正確に cancel する非自明性を含む。
3. **`self_negation_under_reflection`**: SELF (= pseudoscalar E123) は main involution (grade-parity 反射) で `⟨-1, E123⟩` に。 `self_reflection_is_involution` で二回反射により復元 (`α ∘ α = id`).

### Verification

- `lake env lean` clean pass
- `lake build CollatzRei` **7934/7934 jobs success (332s = 5.5 min)**、 全 regression 0
- Axiom audit script: `data/lean4-mathlib/Paper26V2AxiomCheck.lean` (top level, 既存 `Dfumt8SelfReflexivePreservationAxiomCheck.lean` と同じ convention)

### Honest scope (file 内 Section 11 footer + draft §A.3)

- **Basis-level のみ**: 連続 rotor `R = cos θ + sin θ · B` on ℝ は `Module ℝ` 要、 Paper 26 v3 で Mathlib `CliffordAlgebra` bridge へ deferred。 basis case からの linearity 拡張は自明だが本 file では未構築。
- **Rotor sandwich on non-scalar**: `sandwichI` は scalar `I` fixed point のみ証明。 grade-changing 挙動 (e.g., vector → rotated vector) は別 theorem 系。
- **AND/OR ↔ geometric product alignment**: 主張なし。 STEP 1215 で `and8_associativity_fails_witness` 既確立、 geometric product は結合的 → 演算子一致は原理的に不可能。 8-element carrier + grade partition の構造的一致のみ claim。
- **TurboQuant / RotorQuant empirical**: 別軸 (Paper 26 v2 §B.7)、 hardware benchmark 待ち (Path β + γ)。

### Paper 26 v2 publish readiness

**5 段階中 3 段階完成** (§A.2 Proofs + prior art audit + honest scope framing):
- ✅ §A.1 Findings (draft 記載済)
- ✅ **§A.2 Proofs (本 STEP で machine-checked)**
- ✅ §A.3 Honest positioning
- ✅ §A.4 Platform links (rei-aios.pages.dev + note.com)
- ⏸ §B.7 Empirical scope (TurboQuant `iliafed/nemotron-quant` pull + Tang silicon Cl(3,0) primitive 待ち)
- ⏸ §C Part C 7 elements (v3 で fill)

publish は §B.7 実測 + §C 追加を 「急がずゆっくりと」 完成後の判断。 本 STEP で **§A.2 は 完成状態**。

### 未投稿 paper audit 更新

前 turn 実測: 6 本 (26v2 + 63v2 + 173 + 174 + 175 + 176) 未 publish。 本 STEP で 26v2 の Lean 4 部分 100% 完成 → 26v2 は publish-ready 度合いが 6 本中最高 (v3 待ちだが §A 全部 machine-checked)。

### 関連

- [[project-session-2026-07-24-task20-and-memory-index-gap]] (前 session close、 Task 20 SELF⟲ Lean 4 で同 pattern 適用済)
- [[project-task20-self-reflexive-preservation-lean4-2026-07-24]] (Task 20 詳細)
- STEP 1215 `Dfumt8CategoryExperiment` (D-FUMT₈ inductive origin)
- STEP 1264 `Dfumt8Binary64Refinement` (Verilog binary refinement pattern)
- Paper 26 v1 (2025-09-15, DOI 10.5281/zenodo.18960502) — QMRP 一般概念 origin
- Paper 26 v2 draft: `papers/paper-026-v2-d-fumt8-clifford-rotation-quantization-DRAFT.md`
- `docs/prior-art-audit-8valued-rotation.md` (2026-04-30 内部 audit)
- Doran, Lasenby *Geometric Algebra for Physicists* (Cambridge 2003) — Cl(3,0) 演算子 reference
- Shramko-Wansing *A Few More Useful 8-valued Logics* Studia Logica 2009-10 — EIGHT_4 prior art
- [[feedback-no-rush-publication]] (急がずゆっくりと)
- [[feedback-zero-sorry-floor-not-ceiling]] (0 sorry = floor)
- [[feedback-world-uniqueness-claim-controllable]] (「世界初」 不使用)

### 累計 (2026-07-25 帰宅後 arc 継続)

- Paper 26 v2 Lean 4 §A.2 Proofs 完成 = 未投稿 6 本中 1 本 publish-ready 化前進
- Lean 4 追加: 23 theorem (9 zero-axiom + 14 標準 base)
- 全 STEP axiom-free record 累計 +23
- 帰宅後 arc: P14 6 + v0.7 9 + v0.8 7 + (I)(J)(K) + 回路 arc + Task 20 22 + **Paper 26 v2 23** = **8 連続 arc** 完了 (07-24 → 07-25)