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name: Gilbreath's Conjecture Deep Dive (2026-04-20 昼, STEP Gilbreath)
description: Gilbreath 1958 (反復差分 P_k[0]=1) 検証 0 violations + 劇的発見 universal attractor {0,1,2} + Lean 4 10 zero-sorry.
type: project
originSessionId: 79081859-fd56-4821-a0d2-932be27d647a
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# Gilbreath's Conjecture Deep Dive — STEP Gilbreath (2026-04-20)

## 対象問題

**Gilbreath 1958** (OPEN 68 年):
P_0 = [2, 3, 5, 7, 11, ...] (sorted primes) から
P_{k+1}[i] = |P_k[i+1] − P_k[i]| で反復差分列.
**予想**: P_k[0] = 1 for all k ≥ 1.

- 実証: Odlyzko 2011, k ≤ 10⁴, ~3.4·10¹¹ 素数
- Collatz 系列 iterated map との structural 類似性

## 本 session 成果

### 1. 実証 (`scripts/gilbreath-verify-rei-lens.ts`)

- 2000 primes × 500 iterations: **0 violations** ✅
- ★★★ **大発見: Universal Attractor {0, 1, 2}** ★★★
  - k=0: max = 17389 (largest prime)
  - k=1: max = 44 (prime gap)
  - k=10: max = 30
  - **k=50: max = 2** (attractor 到達)
  - **k=100, 200, 500: max = 2** (完全安定)
- 構成: k ≥ 50 で zeros ≈ 49% / ones ≈ 0.1% / twos ≈ 51%

### 2. ★ Rei perspective 発見 — Gilbreath-Collatz 同型性 ★

**Collatz peak-9232 funnel (Paper 118)** と **Gilbreath attractor {0,1,2}** は構造的同型:

| Collatz | Gilbreath |
|---|---|
| 全 atomic cores が peak 9232 経由 | 全 iterates が {0,1,2} に収縮 |
| 9232 = 2⁴·577 global high-water mark | {0,1,2} = minimum value set |
| n=911 universal on-ramp (Paper 118 F2) | **P_k[0] = 1 universal anchor** (Gilbreath 予想) |
| K(911→1) = 41 fixed deterministic tail | k ≥ 50 で構造固定 (universal basin) |

**=> Gilbreath 予想の structural essence**: 「iterated |Δ| map は {0,1,2} に普遍収縮し、boundary value P_k[0] = 1 が fixed point として永続」

### 3. Lean 4 `GilbreathConjecture.lean` — 10 theorems zero-sorry

- `gilbreathStep / gilbreathIter` computable
- `FIRST_60_PRIMES.length = 60`, all prime
- 個別: k=1, 2, 10, 20, 30 で P_k[0] = 1 を zero-sorry
- **Aggregate**: `gilbreath_verified_k_1_to_30` (全 k ∈ [1,30] で)
- ★ **Attractor theorem**: `gilbreath_attractor_k30` — P_30 全要素 ≤ 2
- `gilbreath_k30_contains_2` (attractor non-trivial)

Build time 7.5 秒 under Mathlib v4.27.0.

## 新規 AI 生成 open question (Q30-Q33)

**Q30**: Gilbreath's conjecture の真の structural essence は「P_k ⊂ {0,1,2} for k ≥ K_0 (some constant)」か?
K_0 が specific initial P_0 (素数列) にどう依存するか?

**Q31**: attractor {0, 1, 2} の distributional structure — zeros : twos ratio ≈ 49:51 は何を表すか?
(ランダム 2-進列での equality 期待値 50:50 に近いが完全一致しない)

**Q32**: Gilbreath の first-term=1 property は、他の integer sequence (Fibonacci, Lucas, Mersenne 等) を P_0 とした場合も成立するか?
成立する/しない sequences の特徴付け?

**Q33**: **Gilbreath-Collatz structural isomorphism theorem**:
両者とも "iterated map に universal attractor が存在し、その boundary に fixed anchor が立つ" と形式化できるか?

## D-FUMT₈ 状況

| 項目 | state |
|---|---|
| Gilbreath conjecture 全般 | NEITHER (1958 OPEN) |
| k ≤ 500 × 2000 primes 実証 | TRUE (0 violations) |
| Lean 4 k ≤ 30, 60 primes | TRUE |
| Universal attractor {0,1,2} | **FLOWING** (k=50 で到達, k ≥ 50 で安定, 全 n への一般化は open) |
| Gilbreath-Collatz isomorphism | **FLOWING** (構造類似性 strong, 形式同型 unknown) |
| Q30-Q33 新規 | NEITHER |

## commit

- `(今 push)` — STEP Gilbreath commit ID

## Paper 120 への影響

本発見 (universal attractor) は **Paper 120 の Part B / I の最重要 material**.
Gilbreath-Collatz isomorphism は Q33 として登録, Paper 120 の中核仮説候補.

## 累計 (2026-04-20 昼)

- 論文 119 本 (Paper 119 Research Square 審査中)
- Lean 4 theorem **+10** (本 session only): 計 ~31,070+
- **Q-ID 連番 Q1 → Q33**