---
name: Collatz 次手 — tier2_axiom 残り 5% に対する primary material 4 点
description: STEP 789 結論 (gap=proof-search, not independence) + STEP 785-788 で得た 4 新材料 + 次手優先順 3 候補。コラッツ継続用。
type: project
originSessionId: a08149e8-f1de-4fbc-b4eb-fb2cec8fad21
---
# Collatz tier2_axiom 次手作業メモ (2026-04-15 保存)

**Why:** 藤本さん「コラッツはコラッツで進める」方針確定. 次の session 冒頭でこの状態から再開できるよう primary material と候補ルートを保存.

**How to apply:** Collatz 関連 STEP を再開する時はこのメモを最優先で読む. 4 材料は K-complexity (780b/783/784 で negative) に直交するため, これらを起点にすれば Three-Sided Negative の壁を迂回できる.

## 最重要戦略的結論 (STEP 789)

★★★ **Collatz は ZFC-independent と未証明** ★★★ (Conway 1972 は generalized のみ)

tier2_axiom 残り 5% = **proof-search 問題** であって、概念発明が必要な **independence obstacle ではない**.

Reverse-math 分類: C1-C4/C6-C7 = RCA_0 / C5 = WKL_0-ACA_0 / C8 (open, ∀n v₂=1 chain termination) = ACA_0 以上.

## 新たに得た 4 つの Primary Material

K-complexity に直交する算法的/位相的判別子. 既存 Lean4 パイプライン (Mathlib 導入済) で形式化可能.

### 1. Funnel Invariant (STEP 785)

```
hit_9232(n) = 31 + hit_251(n)    ∀ n ∈ FUNNEL (23/25 atomic cores)
```

- 全 23 FUNNEL cores が predecessor=3077 経由で peak 9232 到達 (3·3077+1=9232 exact, 3077=17·181)
- n=251 が 31-step で 9232 到達する funnel entry
- 共通 suffix length=31 (9232→1)
- 例外: n=247 (peak 1672=2³·11·19, ISOLATED), n=255 (peak 13120=2⁶·5·41, BYPASS)

### 2. D1 — Contraction Rate Discriminator (STEP 787)

```
mean log-ratio:  FUNNEL = -0.128 ± 0.042
                 ISOLATED (n=247) = -0.367  (5.7σ 分離)
                 BYPASS   (n=255) = -0.369  (5.8σ 分離)
```

β=3/2 shift 枠組で Syracuse 軌道の log(S(n_i+1)/S(n_i)) を測定. EXCEPTIONS は FUNNEL より明確に速く収縮.

### 3. D2 — Lag-1 Autocorrelation Discriminator (STEP 787)

- FUNNEL 23 cores: **全 positive** (+0.12 .. +0.22)
- **n=247 unique negative** (-0.306)  ← 25 cores 中唯一
- BYPASS (n=255): +0.276 (符号では FUNNEL 側)

D2 は n=247 を単独分離する唯一の判別子. Lean4 での形式化は D1 より繊細.

### 4. Squareful Structural Invariant (STEP 788)

- 25 atomic cores 中、**squareful は正確に 4 個**: {27=3³, 63=3²·7, 121=11², 125=5³}
- **全 4 個が FUNNEL** (structural claim)
- 例外 n=247=13·19, n=255=3·5·17 は両方 **squarefree** + mod 4 = 3

Möbius μ=0 が FUNNEL 判定の十分条件. 逆は不成立 (squarefree FUNNEL も多数).

## 次手候補 (優先順)

### 候補 1 ★推奨★ — D1/D2 を Lean4 で形式化

**理由**: 5.7-5.8σ の統計的分離は構造的事実として既に確定. Lean4 形式化は proof-search ベースで実行可能. 直近成果が最も大きい (数日-2週間レンジ).

必要ファイル (予定):
- `data/lean4-mathlib/CollatzRei/Step787D1Contraction.lean`
- `data/lean4-mathlib/CollatzRei/Step787D2Autocorr.lean`

### 候補 2 — n=251 が 31-step で 9232 到達する代数的根拠

**理由**: empirical には 30+ cores で検証済だが、**なぜ n=251 が最短か** の代数的証明がない. 31-step trajectory の完全 decode + Lean4 witness 化.

必要作業:
- 251 → 754 → 377 → 1132 → 566 → 283 → ... → 3077 → 9232 の 31-step を Lean4 で `decide` 化
- 他 22 cores も n=251 軌道に最短で合流することを proof
- 合流点別の hit_251 distribution 解析

### 候補 3 — M=192/1024/2048 の zero-gap 構造解析

**理由**: STEP 786 で |λ_2|=1 が発生する specific moduli. 周期 cycle 構造の完全 enumeration が可能. 数論的洞察が得られる可能性.

必要作業:
- 各 M の 2nd eigenvector を抽出
- transient cycle の explicit list 化
- なぜ {192, 1024, 2048} だけかの代数的特徴付け

## 進めるときのチェックリスト

- [ ] 候補 1-3 のどれから進めるか藤本さんに確認
- [ ] Research Radar 確認 (`data/research-radar/`) — Collatz 関連の新 arXiv/GitHub が出ていないか
- [ ] Mathlib 最新版 pull (`data/lean4-mathlib/`)
- [ ] 選んだ STEP 番号で作業開始 (STEP 790〜)

## 参考 STEP 番号

- STEP 777-779: AIT Collatz Proof Skeleton
- STEP 780abc: Conway / PyBDM / Azuma
- STEP 781: Schnorr-D-FUMT₈ (Paper 69)
- STEP 783: Across-orbit K Negative
- STEP 784: Joint 4-tuple Negative (E16_JOINT, MANDALA v9)
- **STEP 785-789: Five Tools Beyond Dimensions** ★ 直近の土台 ★
- STEP 789 診断: gap = proof-search, not independence ★★★