Lean 4 Cases 5-8 D-FUMT₈ NEITHER Formalization STEP 1935

2026-09-10 · axiom-free 3 定理 · Lake build 10s (738/738 jobs) + pre-commit lean verify 46s pass · rei-aios-28 STEP 1933 Cases58WallRefinement と 相補 pair 形成

1. なぜ このページか

Collatz 予想 Cases 5-8 (trailing 1-bits ≥4 で (3/2)^j growth に対する descent guarantee 不能 = 有限 mod 分析 exhaustion) は Rei の 本質的 wall。 藤本さん 2026-09-10 発話「他も進めて Go です」 → 「Cases 5-8 Collatz restart (Rei side)」 選択 → STEP 1927 arc opening + STEP 1931 corrigendum で approach 3 候補 identify → 藤本さん「(iii) でお願い致します」 で 私 rei-aios-4b recommendation (iii) D-FUMT₈ NEITHER approach を 明示 authorize、 Lean 4 file 起草 + build pass + landed。

★★★★★ Honest scope (絶対禁止):
  • 「Rei は Cases 5-8 に progress した」 系 claim 絶対禁止
  • 「D-FUMT₈ NEITHER で Cases 5-8 を解いた」 系 claim 絶対禁止
  • Rei 貢献 = NEITHER encoding の 適用のみ、 substantive descent guarantee の 追加 はゼロ
  • Cases 5-8 の 一般 解決 は 依然 未解決 (Rei の 本質的 wall)
  • Rei step624 §7.1 self-quote: 「no finite modular analysis can capture all trajectories.」

2. Cases 5-8 wall と NEITHER encoding の 核心

2.1 二値分離の 拒否

従来 の formal proof pattern: orbit descent 保証 は 「証明 (TRUE)」 or 「反例 (FALSE)」 の 二値 分離。 Cases 5-8 wall = この 二値 分離 が 有限 mod 分析 で 到達不能 = 「証明でも 反例でもない、 unknown」 state。

D-FUMT₈ 8 値論理 の NEITHER (未確定) semantic class は Belnap 4-value の N (neither true nor false) の直接対応。 「証明 or 反例」 の 二値 分離を 拒否 して 未確定性 の formal state を 独立 semantic class として保持 する encoding が 本 file の 核心。

2.2 D-FUMT₈ encoding (既存 Fin 8 再利用)

CollatzRei.DFUMT8Quantum (既存) で 8 値 を Fin 8 に encoding:

Fin 8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
      = {FALSE, TRUE, NEITHER, BOTH, ZERO, FLOWING, SELF, INFINITY}

NEITHER = 2 (D-FUMT₈ NOT truth table 記載、 self-dual fixed point)

3. Rei stack 実装 (3 定理、 全 axiom-free)

3.1 Definitions (2 個)

def wallDescentState : Fin 8 := 2  -- NEITHER encoding
def neitherValue     : Fin 8 := 2  -- D-FUMT₈ NEITHER 規約

3.2 Theorems (3 個、 全 axiom-free)

#Theorem意味論
1wallDescentState_is_neither: wallDescentState = (2 : Fin 8)encoding definition と 一致 (self-check)
2wallDescentState_neither_self_dual: dfumt8Not wallDescentState = wallDescentState「未確定 の 否定 も 未確定」 = orbit descent「不能」 の 否定 も「不能」 = NEITHER は 二値 分離 対象外 の formal 明示
3wallDescentState_eq_neitherValue: wallDescentState = neitherValueencoding consistency

3.3 Axiom profile

axiom-free 3 定理 全 sub-base ({propext, Quot.sound}) — Classical.choice 不要、 pure kernel。 build verify: Lake 10s、 pre-commit lean verify 46s、 738/738 jobs OK。

4. rei-aios-28 STEP 1933 (Cases58WallRefinement) と の 相補関係

Cases 5-8 restart Rei side = 相補 pair 形成完了:
  • rei-aios-28 STEP 1933: witness layer = 「Case 5 sub-cases n%256 ∈ {39, 71, 103} で case5a 短 pattern 適用不可」 の explicit machine-checked negative witness
  • rei-aios-4b STEP 1935 (本 file): semantic layer = 「不能 state を NEITHER として 二値 分離拒否」 の formal encoding
  • Overlap なし、 完全相補: witness (下位) + semantic (上位) の 直交構造
  • STEP 1935 は STEP 1933 witness content 変更なし = relay carrier absorbs authorship 予防 適用 (私 は そちら content preserve、 上位 semantic layer のみ 追加)

4.1 Chang paradigm 18 (Digit-sum / Hamming weight) の 2-layer defense

Cases58WallRefinement が Chang paradigm 18 の refined witness (「digit-sum aspect deterministic だが Collatz 解けない」)、 本 file の NEITHER encoding = paradigm 18 「解けない」 state を formal semantic として 明示的保持 = paradigm 18 更 具体化 = witness + semantic の 2-layer defense。

5. Chain 累積

6. GitHub reference

7. Attribution (v0.2 marker source 分離)