決定不能性を 1 ミリ動かす

境界線には座標がある ── 4本の定規と、その実測値

結論を先に言うと、動かせます。しかも「何ミリ動いたか」を測る目盛りが用意されている。ただし動かした分だけ壁も後退するので、消すことはできません。

I. 動かす式

1. 跳躍作用素計算論の定規

前回の Ω に停止判定オラクルを足す、というのが最も素直な「1ミリ」です。

Ω⁽ⁿ⁺¹⁾ := Ω⁽ⁿ⁾ ⊕ Halt( Ω⁽ⁿ⁾ )

[ Ω ]^∅⁽ⁿ⁾ が決定可能 ⟺ Ω ∈ Δ⁰_n+1

オラクルを1段足すごとに、算術的階層を1段ぶん降りられる

ところが Post と Kleene の定理が、この1ミリの代償をきっちり定めています。

∀X ( X <_T X′ ) ∅ <_T ∅′ <_T ∅″ <_T ⋯ <_T ∅^(α) (α < ω₁^CK)

跳躍は狭義単調 ── 前に進んだ分だけ、新しい停止問題が生まれる

では最初の2問は何ミリ先にあるのか。量化子を数えれば座標が出ます。

Σ⁰₁停止問題（∃ 一段）

Π⁰₁ゴールドバッハ予想・リーマン予想・ ZF の無矛盾性

Π⁰₂コラッツ予想（全域性：∀n ∃k で 1 に到達） → ∅″ があれば決定可能

Π⁰₃ABC 予想（∀ε ∃N ∀三つ組） → ∅‴ があれば決定可能

コラッツは 2 ミリ、ABC は 3 ミリ先。オラクルさえ手に入れば、どちらも「有限の手続き」で片が付きます ── そのオラクルが存在しないという一点を除けば。

2. 順序数解析証明論の定規

体系そのものを強めるなら、目盛りは順序数になります。

T_α+1 := T_α + Con(T_α) PA ⊬ Con(PA) PA + TI(ε₀) ⊢ Con(PA)

ゲンツェン。ε₀ までの超限帰納法という、たった1つの原理が壁を1段ぶん動かす

この定規の目盛りが証明論的順序数 |T| です。PA なら ε₀、述語的解析なら Γ₀、Π¹₁-CA₀ なら ψ(Ω_ω)。グッドスタイン定理やパリス–ハリントン定理は、この隙間にちょうど落ちる命題として発見されました ── PA では証明できないが、ε₀ を足せば証明できる。「1ミリ動かすと何が新しく証明できるか」が実際に見える希少な例です。

3. 大基数集合論の定規

ZFC + 「n 個のウッディン基数」 ⊢ Π¹_n+1 決定性

無矛盾性の強さで一直線に並ぶ、事実上の「上位互換」階層

射影集合の性質は大基数公理で次々に決着します。ただし連続体仮説はどれだけ足しても独立のまま ── 定規の向きが合っていない、という教訓つきです。

4. 状態数本当にミリ単位の定規

そして最も即物的な定規。「限界は何状態の地点にあるか」を実測できます。

BB(748) が既知 ⟹ ZF の無矛盾性が判定可能

その機械を BB(748) ステップ走らせて止まらなければ、ZF は無矛盾

命題	必要な状態数	出典
ゴールドバッハ予想	27	Yedidia–Aaronson ほか
リーマン予想	744	Stefan O'Rear
ZF の無矛盾性（ZFC から独立）	748	O'Rear（原型は 7,910 状態）

つまり 数学の限界は 27 〜 748 状態のどこかにある。ではその手前はどこまで到達したのか。

n	BB(n)	状況
1–4	1, 6, 21, 107	古典的に確定
5	47,176,870	2024年7月に確定。Coq で機械検証済み
6	> 2↑↑↑5	2025年6月の下界。Antihydra というコラッツ型の機械が立ちはだかる

ここが今回いちばん面白いところです。BB(6) を確定させるには Antihydra という 6 状態の機械の停止性を決めねばならず、それがコラッツ型の未解決問題そのものだった。2026年7月時点で、まだ約 1,100 台の機械が判定不能のまま残っています。

定規を 5 から 6 へ、たった 1 状態動かした瞬間に、コラッツが顔を出した。

II. 答え

Ω⁽ⁿ⁺¹⁾ = Ω⁽ⁿ⁾ ⊕ Halt(Ω⁽ⁿ⁾) かつ Ω⁽ⁿ⁾ <_T Ω⁽ⁿ⁺¹⁾

1ミリ動かす式は存在する。そして同じ式が、壁も1ミリ後退することを保証している

足すことはできます。実際、跳躍を 2 回足せばコラッツは、3 回足せば ABC は決定可能になる。ただし跳躍作用素の狭義単調性 X <_T X′ が、地平線も同じだけ遠ざかることを定理として保証しています。決定不能性は消去できず、座標が変わるだけです。

コラッツと ABC に必要なのは、新しいオラクルではなく新しいアイデアだ ── というのが、この定規たちの出す答えになります。