Sep 18, 2026 · @Nobuki Fujimoto
表現系が「計算せずに答えを出している」と言えるかを判定するチェックリスト。v0 を組み紐図で較正した結果を反映した版。
RT-0 は、ある表現系について「計算せずに答えを出している」と言えるかを判定する。合否を返す装置ではなく、記録票を埋める手続きである。
判定するもの：
判定しないもの：表現系の有用性、優雅さ、速度。速いことは読み出しであることを意味しない（較正の Gauss 閉形式を参照）。
有効性と新規性は別のピンで測る。PIN 6 だけが落ちた装置は、有効だが新しくない。
表現系を三つ組 R = (L, wf, [[・]]) として扱う。
L — 書ける項の全体wf : L → {0,1} — 整形式判定[[・]] : wf⁻¹(1) → A — 意味写像。A は答えの空間A は数の集合である必要はない。図の同値類、新しい記号、写像などでよい。ただし A 上の等号が決定可能でなければならない（PIN 1.5）。
読み出し器：問題インスタンスに対し、整形式な項が正答しか表さないとき、R をその問題クラスの読み出し器と呼ぶ。
完全な読み出し器はまれで、実在する例はどちらかの意味で部分的である。v1 では 2 型を別の欄に記録する。
| 型 | 意味 | 代表例 |
|---|---|---|
| 縮小型 | 誤答空間を狭めるが一意化しない | 次元解析（無次元係数が残る） |
| 片側型 | yes 側または no 側の一方だけに効く | 組み紐図（yes 側のみ） |
v0 では縮小率 ρ = 1 − log|W| / log|A|（W = [[wf⁻¹(1)]]）を主軸に置いていた。しかし A が無限集合のとき定義できず、片側性も表現できない。v1 では ρ を補助指標に降ろし、A が有限のときだけ記入する。
ピンを当てる前に、対象が RT-0 の対象かどうかを判定する。ここで外れた装置は「不合格」ではなく「対象外」である。 適用 01 で、読み出し器を名乗っていない判定器にかけても同じ「不合格」が返ってしまうことが分かったので追加した。
問い — この装置は、整形式性によって誤答を排除していると主張しているか。
判定の仕方 — 装置が誤った答えを出したとき、設計者がその原因をどう説明するかを考える。
対象外の装置にもピンを当てると有益な指摘が出ることがある（適用 01 では事前登録の下限漏れが見つかった）。その場合は結果を「参考適用」と明記し、合否として扱わない。
9 本。適用順は安い順かつ落ちやすい順で、PIN 0 → 1 → 1.5 → 4 → 2 → 3a → 3b → 5 → 6。
| PIN | 問い | 測り方 | 落ちる相手 |
|---|---|---|---|
| 0 問題と答えの分離 | 答えが入力の転写になっていないか | 読み出し器が恒等写像になっていないか見る | 問題設定の取り違え。ここを通さないと他の全ピンが自明に通る |
| 1 誤答の表現不能性 | 誤答を表す整形式項を書けるか | 具体的な誤答を取って書こうとする | 自然言語論証。同じ言い回しで誤答も書ける |
| 1.5 同一性判定 | 答え同士の等号が決定可能か | 判定手続きを実装して走らせる | 答えが図・新記号のとき。数値なら自明に通る |
| 2 非空性 | 正答を表す整形式項が実在するか | 各インスタンスで確かめる | 「何も整形式でない」表現系。PIN 1 を自明に通す |
| 3a wf のコスト | 整形式判定は安いか | 計算量を n の関数で出す | 整形式判定が指数な型系 |
| 3b 読み出しのコスト | 正規形化は直接解くより真に安いか | 実測する。手続きごとに違う | 計算を正規形化に移しただけの装置 |
| 4 前計算の非混入 | 表現系の記述長がインスタンス数に依存しないか | 記述長を数える | 前計算＋表引き。他のピンを全部通る |
| 5 被覆域の明示 | 成立しない最小例を挙げられるか | 1 例出す | 「万能」と答えた時点で不合格 |
| 6 合成との差分 | 既存手法の合成で出ない結論が出るか | baseline を実際に組んで比べる | 既存理論の言い換え。落ちても装置は有効、新規性だけが落ちる |
主要な守りは 2 本である。PIN 1 が疑似数学を弾き、PIN 4 が表引きを弾く。表引きは PIN 4 以外の全ピンを通過するので、ここを省くと装置が無意味になる。
候補にかけたときはこの表を埋める。合否だけでなく、根拠の出所を書くのが v1 の要点である。
| 欄 | 記入内容 |
|---|---|
| 対象とする問題クラス | 何を入力とし、何を答えとするか |
答えの空間 A |
有限か無限か |
A のサイズ関数 |
記述長の測り方（交差数、次数など）。これを宣言しないと ρ* を比較できない |
| PIN 0 / 1 / 1.5 / 2 / 3a / 3b / 4 / 5 / 6 | 各々 合格・不合格・部分 |
片側性 τ |
証拠長の非対称性。1 で両側、∞ で完全な片側 |
(σ_yes, σ_no) |
サイズ上界を固定したときの各側のカバー率（実測値） |
誤答空間の縮小 ρ* |
何が書けなくなったかを具体的に。無限の A ではフィルトレーション版 |
| 根拠の出所（PIN 1.5） | 決定性が表現系の内から出たか、外から借りたか |
| 読み出し手続き名（PIN 3b） | どの正規形を使ったか。手続きで合否が変わる |
| 実測コスト | 入力サイズ別の実測値 |
| 被覆域の境界 | 成立しなくなる最小例 |
| baseline 確定ログ（PIN 6） | 条件で拾った既存手法の全件、除外したものとその理由、差分測定用の D を確定した時点 |
借り物の決定性は、被覆域を広げた瞬間に失われる。組み紐図がその実例である（絡み目に移すと正規形が消える）。
既知の 11 例で各ピンが発火することを確認した。合格 3 例、部分合格 1 例、不合格 7 例。
| 対象 | 結果 | 発火したピン | 備考 |
|---|---|---|---|
| Galois 理論（冪根可解性） | 合格 | — | 両側。根を一つも計算せずに不可能性を言う。被覆域は「冪根で解けるか」の一問 |
| 曲面の分類（種数） | 合格 | — | 両側・縮小率最大。向き付け可能閉曲面のみ、高次元で崩れる |
| parametricity | 合格 | — | 全ピン通過。ただし被覆域が極めて狭い |
| 次元解析 | 部分合格 | — | 縮小型。無次元係数は決まらない |
| 前計算＋表引き | 不合格 | PIN 4 のみ | 他のピンは全部通る |
| 自然言語論証 | 不合格 | PIN 1 | 「〜と考えれば自明」型 |
| 総和法を指定しない発散級数 | 不合格 | PIN 1, PIN 1.5 | 何と何が等しいのかを定めないまま等号を使う |
| 未解決量に記号を与える | 不合格 | PIN 1.5 | 閉じた関係がない。名前は答えではない |
| 不可能性定理を無視した「解」 | 不合格 | PIN 5 | 円積問題型。被覆域の境界を認めない |
| Gauss 閉形式 | 不合格 | PIN 1 | n(n−1)/2 と書いてしまう。速いが読み出しではない |
| 組み紐図 | 不合格 | PIN 3b, PIN 6 | 片側型。詳細は次節 |
較正から 3 点出た。
v1 を生んだ較正。PIN 1.5 の較正素材として組み紐図を選んだところ、v0 の穴が 4 箇所出た。
当初「語 w → それが表す組み紐」を問題に取ったが、この設定では図は入力の転写であり、読み出し器が恒等写像になる。全ピンを自明に通過するのに中身がゼロ。PIN 0 はここから生まれた。
問題を「w₁ と w₂ は同じ組み紐か」に取り直して続行した。
yes 側は合格する。R2 / R3 移動の列が証拠で、各移動が合法なら組み紐類を保つので、異なるものを「等しい」と証明できない。
no 側は不合格である。図だけでは「異なる」を言えず、不変量が要る。B₃ の可換子 c = [σ₁², σ₂²] で実測したところ、安価な不変量が 2 つとも偽陰性を返した。
| 不変量 | c での値 |
判定 |
|---|---|---|
| 置換像 | 恒等 | 「自明」（誤） |
| 指数和 | 0 | 「自明」（誤） |
| Artin 作用（忠実） | 非恒等 | 非自明（正） |
独立な確認として reduced Burau を t = 3, −2, 1/2 で計算し、いずれも単位行列と異なることを確かめた。B₃ で Burau は忠実なので確定である。
Artin の自由群作用は忠実なので、語の問題が決定できる。実装して組み紐関係式 σ₁σ₂σ₁ = σ₂σ₁σ₂、遠方可換 σ₁σ₃ = σ₃σ₁ の成立と、σ₁σ₂ ≠ σ₂σ₁ の分離を確認した。
ただし決定性の根拠は図ではなく代数から来ている。図それ自体は同一性判定を持っていない。
Artin 作用による読み出しの実測。像の語長が指数増加する。
| 入力語長 | 10 | 20 | 30 | 50 | 60 | 70 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 像の語長 | 21 | 272 | 2,225 | 5,886 | 70,104 | 168,675 | 1,474,709 |
入力語長 3,200 ではメモリを使い切ってプロセスが落ちた。Garside 左正規形を使えば多項式時間になるが、いずれにせよ計算である。
ここから v1 の重要な修正が出た。同じ表現系なのに、どの正規形を選ぶかで合否が変わった。PIN 3b は表現系の性質ではなく、表現系と読み出し手続きの対の性質である。
ρ 定義不能。A = Bₙ が無限集合のため。組み紐図は片側かつ部分的な読み出し器であり、「計算しない装置」ではない。
全て組み紐図の較正で露出した穴である。思いついた改良ではない。
| # | 変更 | 根拠 |
|---|---|---|
| 1 | PIN 0 を新設（問題と答えの分離） | 「語 → 組み紐」設定で読み出し器が恒等写像になり、全ピンを自明に通過した |
| 2 | PIN 3 を 3a / 3b に分割 | 組み紐図は整形式判定が安く、読み出しが高い。v0 はこの 2 つを混同していた |
| 3 | ρ を主軸から降ろす |
A = Bₙ が無限で ρ が定義できず、片側性も表現できなかった |
| 4 | PIN 1.5 に根拠の出所欄 | 決定性が図ではなく代数から来ており、借り物だった |
さらに、部分性に 2 型あること（縮小型と片側型）も v0 にはなかった区別である。
PIN 1.5 を前回追加した判断自体は正しかったと確認できた。図を答えにした瞬間にこのピンが主戦場になる。
RT-0 は新しい概念ではない。 既存の判定基準を 1 つの順序に束ねたチェックリストである、というのが正確な位置づけである。
| 要素 | 既知の出所 |
|---|---|
| PIN 1 | 型駆動設計の make illegal states unrepresentable |
| PIN 3a / 3b | 計算量の移送に関する標準的な注意 |
| PIN 4 | 記述長による表引き排除（Kolmogorov 複雑性の標準論法） |
ρ |
制約伝搬における探索空間縮小の測り方 |
| 読み出し器の発想そのもの | 正規形理論、Grothendieck の rising sea |
新規性を主張しない。候補側に PIN 6 を課す装置が、自分には課さないというのは通らない。
ρ は A が無限だと定義できない。 有限部分空間での相対化か、別の測度が要る。未解決。適用順は 0 → 1 → 1.5 → 4 → 2 → 3a → 3b → 5 → 6。安い順かつ落ちやすい順である。
この 3 本を通らない候補に、残りのピンをかける価値はない。
A は数の集合でなくてよいが、PIN 1.5 が主戦場になる。
i が正当なのは名前を付けたからではなく、i² = −1 が体を作るからである。較正集が小さい。というのが当初の穴だったが、埋まった。現在 11 例（合格 3・部分合格 1・不合格 7）。残っている穴は 3 つである。
A が無限のときの ρ の代替がない。いずれも未検証である。 較正を通していないので、ピンとして採用する前に v1 本体と同じ手続きにかける必要がある。
恣意性の源は「baseline を候補の設計者が選べる」ことにある。選ばせないようにする。
D」で測る。 D 上での候補の正答率が差分の定義。D が空なら差分ゼロ。D は候補を見る前に確定する。 baseline のみから生成し、候補の中身を知らない側が固定する（事前登録）。この形にすると、落ちる条件を先に書ける——D 上で baseline を上回らなければ PIN 6 不合格。
3 値を捨て、2 つの量で測る。
理論値 τ（証拠長の非対称性） — c_yes(n) を yes インスタンスに対する最短の整形式証拠長の最大値、c_no(n) を no 側の同じもの（証拠が存在しなければ ∞）として
τ = lim sup log c_no(n) / log c_yes(n)
τ = 1 で対称（両側）、τ → ∞ で完全な片側。組み紐図は yes 側が Garside で多項式、no 側は図だけでは証拠が存在しないので τ = ∞。v1 の 3 値判定と整合する。
実測値 (σ_yes, σ_no)（有界サイズ証拠のカバー率） — 証拠のサイズ上界を固定したとき、各側のインスタンスのうち証拠が書ける割合。較正で実際に埋められる欄。
この構造は NP ∩ coNP の非対称性そのもので、新しい概念ではない。結び目の自明性判定がその実例。
A での ρサイズ関数でフィルトレーションを入れる。A に記述長を定め、A_n をサイズ n 以下の答え、W_n を整形式項が表せるもののうち A_n に入るものとする。どちらも有限。
ρ(n) = 1 − log|W_n| / log|A_n|
ρ* = lim inf ρ(n)
A が有限なら十分大きい n で A_n = A となり、v0 の ρ に一致する。組み紐なら交差数、多項式なら次数がサイズ関数になる。
ただし ρ* はサイズ関数の選び方に依存する。 問題クラスと一緒にサイズ関数を宣言しないと比較できないので、記録票に欄を足した。
理論的には情報量で書くほうが素直で、I = H(A|問題) − H(W|問題)（ビット単位の削減量）なら無限でも定義できる。ただし計算不能なので実務には使えない。
ρ* が退化しないかを、組み紐群で実際に数えて確かめた。A_n は語長 n 以下の相異なる組み紐（Artin の自由群への作用で正準化。Artin の定理によりこれは忠実）、W_n は各読み出し装置による像。
読み出し（B_4、n = 10 まで） |
像の型 | ρ(10) |
ρ* の見込み |
|---|---|---|---|
| identity（読み出しなし） | 全体 | 0 | 0 |
Burau を t = −1 で特殊化 |
無限・指数 | 0.0072 | 0 |
B_4 → B_3（σ₃ ↦ σ₁） |
無限・指数 | 0.288 | 0.372 |
| アーベル化（指数和） | 無限・線形 | 0.767 | 1 |
置換（S_4） |
有限（24 個） | 0.757 | 1 |
良い知らせ：ρ* は潰れない。 B_4 → B_3 が 0.372 という中間値を取る。増大率は λ(B_3) = 2.02、λ(B_4) = 3.07 で、1 − log λ_W / log λ_A = 0.372 と一致する。定義は使える。
悪い知らせ：ρ* が見ているのは増大率の比だけである。 両端で飽和する。
t = −1 で特殊化した読み出しは無限の核を持つ（Δ⁴ = (σ₁σ₂)⁶ を殺すことを直接検算した）のに ρ* = 0 で、読み出しを一切しない装置と区別がつかない。情報は実際に落ちていて、密度 |W_n|/|A_n| は B_3 で 0.783 まで下がり外挿で 0.75 に収束するが、ρ* はそれを見ない。ρ* = 1 になる。手当の手当。 一つの数では足りないので、三段にする。
|W_n| の増大の型（有限 / 多項式 / 指数）ρ* = 1 − log λ_W / log λ_Aλ_W = λ_A なら密度 δ* = lim |W_n| / |A_n|検算。 B_4 → B_3 の像のサイズ列（5, 17, 47, 115, 263, 577, 1233, 2589, 5371, 11047）が、独立に回した B_3 の球のサイズ列と完全に一致した。Burau 行列は組み紐関係・可換関係・逆元をすべて満たすことを実行時に検査している。
RT-0 v1 をスキル化して最初にかけた対象。結論は PIN 1 で不合格。機械ゲートは判定器であって読み出し器ではない。 これは装置の欠陥ではなく、RT-0 の対象外であることを意味する。
| 欄 | 記入 |
|---|---|
| 問題クラス | 入力 = 科研費中区分 65 の分野対（2,080 対）、答え = その対を通過させるか却下するか |
答えの空間 A |
対ごとには 2 値で有限。装置全体としては「通過集合」の選択なので 2^2080 |
| PIN 0 問題と答えの分離 | 条件付き合格。答えは入力の転写ではないが、「有望」の定義が分野対の属性の言い換えになっていないかは C1–C4 の本文次第 |
| PIN 1 誤答の表現不能性 | 不合格。規則が通した対が誤っていても、それは整形式な誤答として書けてしまう。誤答を排除しているのは規則の正しさであって、表現系の構造ではない |
| PIN 1.5 同一性判定 | 自明に合格。答えが 2 値なので等号は自明 |
| PIN 4 前計算の非混入 | 条件付き合格。規則は 4 本なので記述長は定数。ただし端子 D（prior art 衝突検出）を端子 C に吸収したので、prior art 照合が外部データベース参照なら実質的に表引きになる |
| PIN 2 非空性 | 未測定。v0 は仕様凍結のみで実装は別 STEP |
PIN 3a wf のコスト |
合格見込み。対あたり定数、2,080 対で線形。実測未了 |
| PIN 3b 読み出しのコスト | 合格。ただし利得が小さい。2,080 対は人間が目視できる規模（決定 1 がそう選んでいる）なので、ゲートの利得は時間短縮であって不可能を可能にするものではない |
| PIN 5 被覆域の明示 | 合格。calibration_stance = none_by_design_v0 が「この粒度では正しさを測れない」と自分で宣言している。較正 11 例の中でも境界の明示は良いほう |
| PIN 6 合成との差分 | 未測定。baseline（Swanson の LBD / Krenn & Zeilinger の link prediction / LLM 仮説生成）は特定済みだが、実際に組んで比べる作業が未了 |
| 片側性 | 両側（通過・却下のどちらにも規則が効く） |
誤答空間の縮小 ρ |
規則 C1–C4 で指定できる通過集合は 2^2080 のうちごく一部だが、その一部が正答側に寄っている保証がない。縮小は起きているが誤答を消していない |
| 根拠の出所 | 外。決定性は「答えが 2 値である」ことから来ていて、表現系の内から出たものではない |
| 被覆域の境界 | 中区分粒度。小区分に降りると対数が桁違いになり、PIN 3b の利得は上がるが人間の ground truth が取れなくなる |
入口条件がない。 機械ゲートはそもそも読み出し器を名乗っていないので、PIN 1 で落ちるのは当然である。現状の RT-0 はこの区別をつけず、判定器にかけても同じ「不合格」を返す。PIN 0 の手前に「この装置は整形式性で誤答を排除していると主張しているか」という前置きが要る。該当しなければ RT-0 の対象外として返すべきで、不合格とは意味が違う。