三つの層で読む
この地図の各主張には状態タグが付いている。新規性を主張する前に確認すべきなのは「面白いか」ではなく「どの層にあるか」なので、そこを構造として固定した。
四則は選ばれた二つと、そのおまけ
+ と × が組で残ったのは、この二つだけが分配則で噛み合うからである。噛み合うと環になり、環になると線形代数が動き、線形代数が動くと計算の大半が回る。減法と除法は逆元の存在からくる自動的な帰結にすぎない。つまり「四則」は本質的に二つ、しかも噛み合わせの都合で選ばれた二つ。
I-1 本質的には一つかもしれない
a × b = exp(log a + log b)。掛け算は対数座標で見た足し算である。これは偶然ではなく、結合律の関数方程式の帰結として説明できる。
実区間上の連続・狭義単調・簡約的な二項演算 F(x,y) が結合的なら、ある連続狭義単調な f によって F(x,y) = f⁻¹(f(x)+f(y)) と書ける。つまり加法と同型。四則の「二つ」は、一つの演算を二つの座標系から見た影という読み方ができる。
逆に言えば、加法と本質的に異なる二項演算を作るには、連続性・単調性・簡約性・結合性のいずれかを落とすしかない。これが以降の全ての分岐の起点になる。
I-2 縦に出る — ハイパー演算
後者関数 → 加法 → 乗法 → 冪 → テトレーション → … と続く階層があり、四則はその下から二段目と三段目を切り出したものにすぎない。Knuth の上矢印記法と Ackermann 関数がこの階層を形式化する。
冪が四則から仲間外れにされているのは審美的な理由ではない。結合律も可換律も満たさず、逆演算が根と対数の二つに割れる。一つ上の段に上がった瞬間に、代数的な扱いやすさがまとめて失われる——この崖の存在自体が、四則がここで止まっている理由になっている。
I-3 横に出る — 半環
縦ではなく横に動く道がある。+ と × の役を別のペアに置き換える。環の公理から加法逆元を落とすと半環になり、そこには実用的な代数がいくつも住んでいる。
| 半環 | ⊕ | ⊗ | 0̄ | 1̄ | そこで解ける問題 |
|---|---|---|---|---|---|
| 確率 | + | × | 0 | 1 | 算術符号、forward algorithm、周辺化 |
| log | logsumexp | + | −∞ | 0 | 数値安定な確率計算（浮動小数点前提） |
| トロピカル min-plus | min | + | +∞ | 0 | 最短経路、トロピカル幾何 |
| max-plus | max | + | −∞ | 0 | スケジューリング、離散事象システム |
| Viterbi | max | × | 0 | 1 | 最尤系列復号 |
| Boolean | ∨ | ∧ | ⊥ | ⊤ | 到達可能性、推移閉包 |
| 形式言語 | ∪ | 連接 | ∅ | {ε} | オートマトン、正規表現 |
上の表の全ての行に対して同一の再帰（行列の閉包／Kleene star）が走る。最短経路と最尤系列と確率の周辺化は、別々のアルゴリズムではなく同じアルゴリズムの半環違いである。半環を差し替えるという操作は、問題そのものを差し替える操作と等価になっている。
トロピカル半環では加法が冪等（a ⊕ a = a）になるため加法逆元が存在せず、環にはなり得ない。「引き算が無い」ことが欠陥ではなく、そこに幾何学が一つ丸ごと建っている（トロピカル幾何）。名前は Imre Simon がブラジルで研究していたことに由来する地理的な符牒で、概念的な意味はない。
I-4 公理を落とす
- 結合律を落とす：Lie 括弧 [x,y]、外積、八元数、Jordan 積。
- 可換律を落とす：四元数、行列積。Cayley–Dickson 構成は ℝ→ℂ→ℍ→𝕆→𝕊 と進むたびに性質を一つずつ失う（順序 → 可換 → 結合 → 交代／零因子なし）。
- 「正しい」足し方を捨てる：中間分数 a/b ⊕ c/d = (a+c)/(b+d)。分数の間違った足し算が Stern–Brocot 木と Farey 数列を生成する。
- 組合せゲームの算術：nim 和（XOR）と nim 積。超現実数の上でこれらは体を成す。
ℝ 上の有限次元ノルム付き可除代数は ℝ, ℂ, ℍ, 𝕆 の四つだけ（次元 1, 2, 4, 8）。多次元数体系を新規に設計するという主張は、この定理が閉じた領域の外側でしか成立しない。したがって何を捨てたかを明示することが必須になる。
「演算はいくつあるか」には答えがある
個別の演算を列挙するのではなく、有限集合上の演算全体を、合成で閉じたクラス（クローン）の束として分類しきるという枠組みがある。普遍代数のクローン理論。ここが、この問いに対して最も厳密な答えが存在する場所である。
有限集合 A 上の全ての有限アリティ演算の集合を O_A とする。クローンとは、射影を全て含み、合成で閉じた O_A の部分集合。クローンの全体は包含関係で完備束をなす。「どんな演算がありうるか」は、この束の構造を問うことに等しい。
2 元集合上のクローンは可算個しかなく、Post の束として全て列挙・命名されている。ブール関数の完全性判定はこの束を見るだけで終わる。
3 元以上の集合上では、クローン束の濃度は連続体 2^ℵ₀。Post 型の完全分類は存在し得ない。「k 値演算の空間を列挙する」形の主張は、k ≥ 3 では最初から成立しない。
任意の有限集合 A（|A| ≥ 3）上で、極大クローンはちょうど六種類の関係 ρ の多項式クローン Pol(ρ) として尽くされる：(1) 最大元と最小元を持つ半順序、(2) 同じ素数長のサイクルからなる不動点自由置換、(3) 初等アーベル p 群からのアフィン関係 {a₁−a₂+a₃=a₄}、(4) 自明でない同値関係、(5) 中心関係、(6) m-正則関係。
個数は |A|=2 で 5 個、|A|=3 で 18 個（Yablonskii）。一般の |A| に対して有限であり計算可能。
演算集合 F が関数完全（Clo(F) = O_A）であることと、F がどの極大クローンにも含まれないことは同値。極大クローンは有限個で明示されているので、これは有限回のチェックで決着する計算である。演算表さえあれば機械的に回せる。
k ≥ 3 値上で、全ての単項関数と、全射な本質的多項関数を一つ含む集合は関数完全。多値論理側から見た最も古い完全性条件で、判定が非常に軽い。
束の下端側。極小クローンは (I) 射影でない単項演算、(II) 二項冪等演算、(III) 半射影、(IV) 多数決演算、(V) 少数決演算——のいずれかで生成される。有限集合上では極小クローンの個数も有限。
多値論理系を設計するとき、意味のある問いは「新しい演算を作ったか」ではなく「生成されるクローンが束のどこに座るか」である。上端（関数完全か）と下端（極小クローンを含むか）は有限判定でき、中間は原理的に列挙できない。この非対称性が、主張のスコープを切る場所を教えてくれる。
数字には四つの自由度がある
0〜9 という並びは、指が十本ある動物が作ったという解剖学的偶然にすぎない。だが「底が 10 であること」は自由度の一つでしかない。位取り記数法という設計には、独立に緩められる軸が少なくとも四つある。
| 自由度 | 標準の選択 | 緩めた実例 | 得られるもの |
|---|---|---|---|
| 底 β | 整数 > 1（10） | φ（Bergman 1957）、e（radix economy 最適）、−2、2i（Knuth 1955 / 1960）、−1±i（Khmelnik 1964 / Penney 1965） | 符号記号なしで負数・ガウス整数を有限表現できる |
| 数字集合 D | {0,…,β−1} | 平衡三進 {−1,0,1}（Setun 1958）、冗長符号付き数字 {−a,…,a}（Avizienis 1961） | 対称な丸め、桁上げ伝播の消去＝定数時間加算 |
| 位取り構造 | 等比 βⁱ | 階乗進法、Zeckendorf（Fibonacci 基底）、剰余数系（CRT）、連分数、p 進（左に無限） | 桁上げの原理的消滅、別の代数構造への接続 |
| 一意性 | 表現は一意 | β 展開は有限でも非一意（非一意な数は稠密：Petkovšek 1990）、ANS | 冗長性そのものを情報として使える |
II-1 実例のうち二つは実機で動いた
これらは思考実験ではない。Setun（Brusentsov、モスクワ大学、1958）は平衡三進法で動作した実機で、丸めが最も自然になる（切り捨てが最近接丸めと一致する）性質を持つ。Avizienis の冗長表現（1961）は桁上げ伝播を消して定数時間加算を可能にし、現代の乗算器の内部で今も動いている。「表現は一意でなければならない」も「数字は非負でなければならない」も、シリコンの上で既に破られている。
複素基底も同様に構成的で、β = −1±i の丸め領域は twindragon と呼ばれるフラクタルになる。基底を非標準にすると、その体系の「桁の境界」が自己相似図形になる——これは一般現象であり、螺旋・自己相似を持つ数体系を設計しようとするとき、既に地図が描かれている隣接領域になる。
II-2 ANS — 分布に対して最適化された数体系
標準 2 進では、状態 x に数字 d を追加する操作は x → 2x + d。各数字が自然数全体の密度 1/2 を占める。ANS はこれを一般化し、数字 s が密度 p_s を占めるように自然数を分割する。rANS の符号化は C(x,s) = ⌊x / f[s]⌋ · 2ⁿ + (x mod f[s]) + CDF[s]。
これは圧縮技法である前に記数法である——Duda 自身の命名がそう言っている。Zstandard、LZFSE、JPEG XL、CRAM 等で稼働中。
この視点を取ると、Shannon 限界の意味が変わる。「与えられた分布に対して、その記数法は既に radix economy 最適である」という主張がシャノン限界である。だから限界を「突破」する形の主張は、記数法を固定したまま最適性を否定することになり、成立しない。動かせるのはどの分布・どの同値関係に対して記数法を建てるかのほうである。
D-FUMT₈ と圧縮研究はこの地図のどこに座るか
以下は本ドキュメントで提案する接続であり、まだ検算されていない。各項に検証手順を併記する。仮説として扱い、実測が済むまで論文の主張に載せないこと。
III-A 8 値代数 → k = 8 のクローン束
|A| = 8 なので Yanov–Muchnik がそのまま効き、クローン束の濃度は連続体。D-FUMT₈ が「8 値上の演算の体系を与える」と述べる場合、それは束の中の一点を指定しているのであって、空間を尽くしてはいない。スコープを明示する箇所。
検証手順：既にある d8_table の 136 entry から、Rosenberg の六クラスそれぞれについて「AND / OR / NOT がその関係を保存するか」を判定する。一つでも保存すればその極大クローンに含まれ、関数完全ではないことが定理として言える。どれも保存しなければ関数完全。有限回の表引きで決着する。
Słupecki 条件のほうが軽いので先に試すとよい：8 値上の全単項関数を生成できるか、かつ全射な本質的二項演算が一つあるか。
Verilog 表は極大部分束が二つ（{T,F,B,N} classical ⊕ {∞,〇,～,⟲} higher）で、cross-tier は classical wins という構造だと記録されている。分割 θ = {T,F,B,N} | {∞,〇,～,⟲} が合同関係であれば、これは Rosenberg クラス (4)「自明でない同値関係」に該当し、生成クローンは極大クローン Pol(θ) に含まれる——つまり関数完全ではないことが確定する。
検証手順：θ の保存は「tier1 ∘ tier1 ⊆ tier1」「tier2 ∘ tier2 ⊆ tier2」「cross-tier の結果が入力の tier の組だけで決まる」を AND と OR について 136 entry で確認し、加えて NOT が tier を保つ（NOT(tieri) ⊆ tieri）ことを 8 行で確認する。NOT が tier をまたぐなら θ は保存されず、この経路は閉じる。cross-tier が常に classical に落ちるなら第三条件は自動的に満たされる。反例が一つ出れば仮説は落ちるので、否定側も安い。
単項の中心関係（Rosenberg クラス (5)）は、空でない真部分集合 C ⊊ A であって全演算がそれを保つもの。C = {ZERO} が候補になる条件はちょうど三つ：AND(Z,Z) = Z、OR(Z,Z) = Z、NOT(Z) = Z。成立すれば Pol({ZERO}) に含まれ、関数完全ではない。
検証手順：表から三箇所引くだけ。ZERO が両側吸収元という既知の実測は一つ目を保証するので、実質は残り二つ。ただし「吸収元である」ことと「単元集合が保存される」ことは別条件なので、吸収元の実測から自動的には出ない点に注意。
seven-logic 表と Verilog 表の 78/136 の乖離は、現在 source-of-truth 問題（route A〜D）として扱われている。クローンの言葉では別の問いが立つ：この二つの表は同じクローンを生成するか。
同じクローンを生成するなら、差分は表現の違いであり、互いを合成で書けるので route (C)（二独立代数の併存）が代数的に正当化される。異なるクローンなら本質的に別の代数であり、一次資料 audit（route D）で設計意図を確定させる必要がある。この判定自体が route 選択の材料になるので、2026-09-05 の pickup で route (D) の前に置く価値がある。
SELF⟲ は単項演算。Rosenberg の極小クローン分類の型 (I)「射影でない単項演算」の判定条件は具体的で、f が恒等でなく、かつ (a) f ∘ f = f（冪等） または (b) f が素数位数の巡回置換であること。
既に d8_unary_idempotent が実装されているので (a) の判定はほぼ済んでいる。冪等なら Clo(SELF⟲) は極小クローン——束の下端の被覆元——であることが直ちに言える。冪等でない場合は SELF⟲ の反復の周期を見て (b) を判定する（周期が素数なら極小、合成数なら真の中間クローンを持つ）。「意味は意味自身を超えることはできないが、反復する意味は超えることができる」という定式化は、この反復の周期構造とちょうど同じ場所を指している。
III-B 圧縮研究 → 記数法と半環の選択
ANS は名前どおり記数法である。整数のみの決定論的予測器 → 頻度表 → rANS という構成は、「分布に対して底を作り直した記数法を、厳密整数演算で構成する」という設計そのもの。表現側の地図の右下——非標準基底・冗長性を情報として使う領域——に既に立っている。
既に採用済みの方法論——削減は圧縮ではなく、同値関係／商空間の選択が本質——は、記数法の言葉では「どの分布に対して基底を建てるか」と完全に同じ操作を指している。二つの言い方が一致することは、方針転換（「限界を突破」→「限界を一本増やす／R(D̃) を導出する」）が代数的に正しい向きだったことの独立な傍証になる。
log 半環（⊕ = logsumexp、⊗ = +、ℝ 上）から確率半環（⊕ = +、⊗ = ×、ℤ 上）へ戻る決定として記述できる。logsumexp は厳密算術で閉じないので、log 半環上では往復可逆性を有限検証できない。確率半環を ℤ 上で取れば有限検証できる。
つまり Lean4 の検証範囲を「符号器の往復可逆性」と「頻度表の正規化・非ゼロ不変量」の二点に限定した設計判断は、検証可能性を確保するための代数的選択として正当化できる。実装上の都合として書くより、この形で書くほうが主張が強い。
|x| = Ctx + Cmp + Cls + Ch を保存則として主張するなら、形式化の的は明確になる：|·| が（合成を演算とする構造）から (ℝ≥0, +) への準同型か。加法的に分解できることと保存することは別で、後者は準同型性そのもの。「− はチャネルでなく計算で払う」という固定も、どちらの項に流すかの写像として書けば形式的な言明になる。
III-C SNST・多次元数体系 → 隣接する prior art
螺旋数体系の核 S(r,θ,t,v) = r·e^(φtv)·e^(iθπv) は φ を構造定数に持つ。「φ を底とする記数法」は Bergman 1957 で確立している（Mathematics Magazine 31, 98–119）。Fibonacci 基底の Zeckendorf 表現も同じ族。φ の特異性を新規性の根拠にすると、この二つと衝突する。
差分の言い方：SNST は現状パラメータ付き曲線であって記数法ではない。記数法と名乗るには数字集合と一意性／冗長性の解析の二つが要る（表現側の四自由度のうち二つが未定義）。この二つを定義した時点で Bergman との差分が自動的に言語化される。逆に定義しないうちは、記数法としての新規性は主張できない。
ノルム付き可除代数は ℝ, ℂ, ℍ, 𝕆 の四つで尽きている（Hurwitz 1898）。多次元数体系理論を新規と述べるには、Cayley–Dickson 構成のどこから分岐し、何を捨てたか（可換性／結合性／交代性／零因子なし／ノルム乗法性）を明示するのが最短経路。ここは Clifford 代数と幾何代数も同じ領域を占めている。
β = −1±i の記数法の丸め領域は twindragon フラクタルになる。非標準基底の桁境界が自己相似図形になるのは一般現象で、螺旋・自己相似構造を数体系に持ち込むという発想には既に先行研究の層がある。SNST を記数法として定式化する場合、この層との差分が最初に問われる。
新規性を主張する前の五問
Pattern L（主張は弱めてでも正確に）と Pattern 5（既存 tool を compose した prototype との差分を明示する）を、この二領域に特化させたチェックリスト。
- その演算集合が生成するクローンは、どの極大クローンに含まれるか。一つでも含まれれば「関数完全でない」が定理として言える。含まれないなら関数完全。どちらも有限判定で、演算表さえあれば回る。判定を飛ばして「新しい演算体系」と述べると、Rosenberg の六クラスのどれかを再発見している可能性が残る。
- その記数法の四座標（底 β / 数字集合 D / 位取り構造 / 一意性）は何か。四つとも標準なら新規性はない。一つでも非標準なら、その軸の先行研究（β: Rényi・Parry・Bergman、D: Avizienis・Setun、構造: Zeckendorf・剰余数系、一意性: Petkovšek・Duda）と照合する。
- 冗長性を導入したなら、その見返りは何か。Avizienis の冗長表現は「定数時間加算」という具体的な見返りがあった。冗長にしただけで見返りが言えない場合、それは設計ミスであって新規性ではない。
- 「世界初」の前に八人を通したか。Post（1941）/ Słupecki（1939）/ Yanov–Muchnik（1959）/ Rosenberg（1965, 1983）/ Rényi（1957）/ Parry（1960）/ Bergman（1957）/ Avizienis（1961）/ Duda（2009–13）。演算側と表現側それぞれの入口を塞いでいる面々。
- 既存 tool を順に compose した prototype との差分は言えるか。この二領域では特に、「半環を差し替えただけ」「基底を差し替えただけ」が既存アルゴリズムの再パラメータ化で済んでしまう場合が多い。差し替えでは出ないものを一つ挙げられるかが分水嶺になる。
入口
演算側
- 1939Słupecki — k ≥ 3 値論理の完全性判定条件（全単項 + 全射な本質的多項）
- 1941E. L. Post — Post の束：2 元集合上のクローンの完全分類（可算個）
- 1949J. Aczél — 結合律の関数方程式（連続・簡約的な結合演算は加法と同型）
- 1959Yanov & Muchnik — |A| ≥ 3 でクローン束は連続体濃度
- 1965/70I. G. Rosenberg — 極大クローンの完全記述（六種の関係）。解説：Rosenberg's Work on Maximal and Minimal Clones、詳細な再構成：Pinsker, Rosenberg's Characterization of Maximal Clones
- 1983/86I. G. Rosenberg — 極小クローンの五型分類
- 2002M. Mohri — 半環フレームワークと最短距離アルゴリズム（同一再帰の半環違い）
- —トロピカル半環（min-plus / max-plus、冪等加法ゆえ環にならない）
表現側
- 1898A. Hurwitz — ノルム付き可除代数は ℝ, ℂ, ℍ, 𝕆 の四つのみ
- 1955/60D. E. Knuth — quater-imaginary base（底 2i）：符号なしでガウス整数を有限表現
- 1957A. Rényi — β 展開の導入（非整数基底）。概観
- 1957G. Bergman — A Number System with an Irrational Base, Mathematics Magazine 31, 98–119（黄金比進法）
- 1958N. Brusentsov — Setun：平衡三進法で動作した実機（モスクワ大学）
- 1960W. Parry — β 展開の最初の詳細な研究
- 1961A. Avizienis — Signed-Digit Number Representations for Fast Parallel Arithmetic（冗長表現・定数時間加算）
- 1964/65S. Khmelnik / W. F. Penney — 底 −1±i（丸め領域が twindragon）
- 1990M. Petkovšek — β 展開が非一意になる数は稠密
- 2009/13J. Duda — Asymmetric Numeral Systems（分布に対して最適化された記数法）。概観と展開先