Burau 組み紐ベンチ
Braid groups · Burau representation

Burau 組み紐ベンチ

1935 年のブラウ表現は、絡まった組み紐を「数の表」に翻訳する装置です。異なる組み紐を必ず違う表に送れるか（忠実か）は、n = 4 本の場合だけ 90 年間わからないままでした。紐を引っ張って、ほどいて、行列がどう動くかを手で確かめてください。

査読前プレプリント V. Bharathram, J. S. Birman, T. E. Brendle, The Burau representation of the braid group is faithful for n = 4, arXiv:2607.05283（2026-07-06, math.GT）

紐を横にドラッグすると交叉ができます（Shift ＋ ドラッグで下をくぐる）。交叉をクリックで上下反転、Alt ＋ クリックで削除。上下にドラッグすると、離れた交叉どうしは入れ替えられます。♪ BGM を押すと、いま盤面にある組み紐そのものが撥弦の譜面として鳴ります。

アルティン語

長さ 0 指数和 0 置換 e

被約 Burau 行列 β(w) ∈ GLn−1(ℤ[t,t−1])

自明性判定（Dehornoy 簡約）

簡約手数
—
簡約後の語長
—

ハンドル簡約は、組み紐として等しい語への書き換えを繰り返します。空語になれば自明（ほどける）、ハンドルが尽きても残れば非自明。「ほどく」はこの書き換えを一手ずつ盤面で再生します。

2つの組み紐を比べる

A

—

B

—
Burau 行列
—
組み紐として
—

核元を総当たりで探す

ランダムな語の Burau 行列が単位行列になり、しかも組み紐として非自明ならば、それが「表現が見落とした組み紐」＝核元です。

対象
B₄, 長さ ≤ 18
検査した語
0
行列 = I になった語
0
うち非自明（核元）
0
待機中

用意した局面

いま確定した地図

ブラウ表現 βn : Bn → GLn−1(ℤ[t,t−1]) が単射（＝忠実）かどうかは、本数 n で答えが変わります。残っていた n = 4 が 2026 年 7 月に決着し、地図が閉じました。

n ≤ 3
忠実
Magnus–Peluso。B₃ では 2×2 行列が組み紐を完全に区別する。
n = 4
忠実（2026）
Bharathram–Birman–Brendle。点押し部分群と Moody 多項式のパリティ条件。系として B₄ の Jones 表現も忠実。
n = 5
不忠実
Bigelow (1999)。長さ 118 の非自明な組み紐が単位行列に落ちる。この盤面で読み込める。
n ≥ 6
不忠実
Moody (1991) が n ≥ 9、Long–Paton が n ≥ 6 に改良。